考点18 二次函数的性质 备战2024年中考数学考点总复习 （选择+填空）【中考高分指南】备战2024年中考数学考点总复习

【中考高分指南】数学（选择+填空） 【备战2024年中考·数学考点总复习】（全国通用） 考点18 二次函数的性质（解析版） 知识整理 1．二次函数的定义 形如　y=ax2+bx+c　(a,b,c是常数,a≠0)的函数,叫做y是x的二次函数.  2．二次函数一般式 y=ax2+bx+c (a≠0) 的图象和性质 函数 二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0) 图象 a>0 a<0 性质 ①当a>0时,抛物线开口向上,并向上无限延伸. ②对称轴是,顶点坐标是. ③在对称轴的左侧,即当x<时,y随x的增大而减小;在对称轴的右侧,即当x>时,y随x的增大而增大,简记为左减右增. ④抛物线有最低点,当x=时,y有最小值,y最小值=. ①当a<0时,抛物线开口向下,并向下无限延伸. ②对称轴是,顶点坐标是. ③在对称轴的左侧,即当x<时,y随x的增大而增大;在对称轴的右侧,即当x>时,y随x的增大而减小,简记为左增右减. ④抛物线有最高点,当x=时,y有最大值,y最大值=. 3．抛物线 y=a(x-h)2+k (a≠0) 与 y=ax2 (a≠0) 的关系 （1） 二者的形状相同,即a不变，只是位置不同,.y=a(x-h)2+k是由y=ax2通过平移得来的.右左 （2） y=ax2的图象y=a(x-h)2的图象 上下 y=a(x-h)2+k的图象. （3） 平移规律 : “左加右减，上加下减”. 4． 二次函数顶点式 y=a(x－h)2+k (a≠0) 的性质 (1) 当a>0时, 开口向上; 当a<0时，开口向下; (2) 对称轴是直线x=h; (3) 顶点是(h,k). 5． 二次函数交点式 y=a(x-x 1)(x-x 2) (a≠0) 的性质 (1) 当a>0时, 开口向上; 当a<0时，开口向下; (2) 对称轴是直线x＝ (其中x1，x2为抛物线与x轴两交点的横坐标) 6．二次函数与一元二次方程的关系 二次函数y=ax2+bx+c (a≠0) 的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点.当图象与x轴有交点时，令y=0，解方程ax2+bx+c=0( a≠0) 就可求出与x轴交点的横坐标. Δ=b2-4ac ax2+bx+c=0的根 抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点 Δ>0 两个不相等的实数根 两个交点 Δ=0 两个相等的实数根 一个交点 Δ<0 无实数根 无交点 7．二次函数与不等式的关系 设抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与x轴交于(x1,0),(x2,0)两点，其中x1<x2,则不等式ax2+bx+c>0的解集为x>x2或x<x1，不等式ax2+bx+c<0的解集为x1<x<x2.  考点解读 典 例 析 剖 【例1】（2023·湖南郴州）关于二次函数，下列说法正确的是（       ） A．函数图象的开口向下 B．函数图象的顶点坐标是 C．该函数有最大值，是大值是5 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】D 【分析】由抛物线的表达式和函数的性质逐一求解即可． 【详解】解：对于y=（x-1）2+5， ∵a=1>0，故抛物线开口向上，故A错误； 顶点坐标为（1，5），故B错误； 该函数有最小值，是小值是5，故C错误； 当时，y随x的增大而增大，故D正确，故选：D． 方 法 结 总 二次函数顶点式 y=a(x－h)2+k (a≠0) 的性质:当a>0时, 开口向上; 当a<0时，开口向下; 对称轴是直线x=h; 顶点是(h,k). 画出函数图象的草图，更容易判断增减性。 【例2】（2023·内蒙古通辽）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：将二次函数的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为故选D． 方 法 结 总 图像平移规律：由函数y=ax2平移得到y=a(x-h)2+k满足“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”，概括成八个字，即：“左加右减，上加下减”. 【例3】（2021·广西中考真题）如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于的不等式的解集是（       ） A． 或 B．或 C． D． 【答案】D 【分析】将要求的不等式抽象成两个函数的函数关系问题，根据二次函数图象的对称性，以及与一次函数图象的关系，求出新的一次函数与二次函数的交点，从而写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可． 【详解】 与关于y轴对称 抛物线的对称轴为y轴， 因此抛物线与直