第三章 函数的概念与性质寒假作业知识巩固及习题答案-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第三章 函数的概念与性质寒假作业知识巩固及习题 1.函数的概念 设,是非空的（ ），如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作,. 其中，叫做（ ），的取值范围叫做函数的定义域，与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的（ ），显然，值域是集合的（ ）. 2.区间： 设,是两个实数，而且，我们规定： （1）满足不等式的实数的集合叫做闭区间，表示为； （2）满足不等式的实数的集合叫做开区间，表示为（ ）； （3）满足不等式或的实数的集合叫做半开半闭区间，分别表示为： , . 这里的实数，都叫做相应区间的端点. 这些区间的几何表示如下表所示. （4）实数集可以表示为,“”读作“无穷大”，“”读作“负无穷大”，“” 读作“正无穷大”. 满足，，，的实数的集合，用区间分别表示为 ，. 这些区间的几何表示如下表所示. 注意：（1）“”是一个趋向符号，表示无限接近，却永远达不到，不是一个数. （2）以“”或“”为区间的一端时，这一端点必须用小括号. 3. 函数的三要素 （1）（ ）（2）（ ）；（3）（ ） 4.函数的相等 如果两个函数的（ ）和（ ）分别相同，那么就说这两个函数是同一个函数. 5.函数的表示方法 （1）解析法（2）图象法（3）列表法 6.分段函数 （1）分段函数的概念 有些函数在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数.如 ，. 说明：①分段函数是一个函数，而不是几个函数.处理分段函数问题时，要先确定自变量的取值在哪个区间，从而选取相应的对应关系. ②分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式.并且必须指明各段函数自变量的取值范围. ③分段函数的定义域是自变量所有取值区间的并集，分段函数的定义域只能写成一个集合的形式，不能分开写成几个集合的形式. ④分段函数的值域是各段函数在对应自变量的取值范围内值域的并集. 7.单调性与最大（小）值 （1）增减性 设函数的定义域为I,区间DI.如果，，当时，都有,（）那么就称函数在区间D上单调递增（单调递减）. 特别地，当函数在它的定义域上单调递增（单调递减）时，我们就称它是增函数（减函数）. （2） 证明函数在区间D上单调递增或单调递减，基本步骤; ①设值：设，且 ②作差： ； ③变形：对变形，一般是通分，分解因式，配方等.这一步是核心 ，要注意变形到底； ④判断符号，得出函数的单调性. （3）函数的最大值与最小值 ①最大值：设函数的定义域为I，如果存在实数M满 （1） 对于任意的，都有； （2） （2）存在，使得. 那么我们称M是函数的最大值.(自己再写最小值写在最大值下面） 8.奇偶性 （1）偶函数 设函数的定义域为，如果，都有，且 ，（）那么函数就叫做偶函数.（奇函数） 关于奇函数有下面的结论： 奇偶函数的定义域一定关于原点对称；如果奇函数当时有意义，那么； 9.幂函数的概念 一般地，形如（，为常数）的函数称为幂函数.对于幂函数，我们只研究，，，，时的图象与性质. 2.五个幂函数的图象和性质 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数 单调性 增函数 在上递减 在上递增 增函数 增函数 在，上递减 定点 1．函数的定义域是（     ） A． B． C． D． 答案 B 2．设函数，则等于（    ） A． B．1 C． D．5 答案A 3．若函数的定义域是，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【详解】函数的定义域是，则，故， 解得. 故选：D 4.函数f(x)= - 2x在区间上的最小值为 (　　) A.1 B. C.- D.-1 因为f(x)在区间上单调递减, 所以f(x)min=f-2×=-1. 答案D 5．某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过的，按每立方米元收费；用水超过的，超过部分加倍收费．某职工某月缴水费