3.3 幂函数课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

《第三章 函数的概念与性质》 3.3幂函数 问题1：如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克，那么她需要付 的钱数p = 元 问题2：如果正方形的边长为a，那么正方形的面积是S = ， 问题3：如果正方体的边长为b，那么正方体的体积是V = ， 问题4:如果正方形场地的面积为S，那么正方形的边长c= ， 问题5：如果某人t s内骑车行进了1km，那么他骑车的平均速度v = w 这里p是w的函数 a² 这里S是a的函数 b³ 这里V是b的函数 这里c是S的函数 这里v是t的函数 t-1 km/s y = x² y= x³ y= x y=x 情境引入 以上问题中的函数有什么共同特征？ （1）都是函数； （2）均是以自变量为底的幂； （3）指数为常数； （4）自变量前的系数为1。 上述问题中涉及的函数，都是形如y=xα的函数。 　y=x 　y=x2 　y=x3 　y=x1/2 　y=x-1 情境引入 一般地，函数y=xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数. 注：(1) 为常量, 底数x为自变量且x的系数为1. (3)定义域不固定,与 的值有关. 一、幂函数定义 “幂”原指覆盖食器的布巾，数学中“幂”是乘方/指数运算的结果，而乘方的表示是在一个数字上加上标，就像在一个数上“盖上了一头巾”，在现实中盖头巾又有升级的意思，所以把乘方叫做幂正好形象地契合了数学中指数快速增长的特点. (2) 中幂 系数为1. 幂函数的概念理解 例 2024/1/4 5 二.常见幂函数的图象和性质 幂函数 定义域 R R {x|x≠0} 值域 R [0,+∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 R上递增 (-∞,0]递减 (0,+∞)递增 (-∞,0)和(0,+∞)递减 图象 公共点 —— [0,+∞) R R [0,+∞) 奇函数 非奇非偶 (1,1) (0,0) R上递增 [0,+∞)递增 二.常见幂函数的图象和性质 幂函数在第一象限内指数 变化规律： 在第一象限内直线 x ＝ 1 的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小； 在直线 x ＝ 1 的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小 . 二.常见幂函数的图象和性质 2024/1/4 8 幂函数的奇偶性判断 例 充要 例 题型一：幂函数的概念 解：∵是幂函数 ∴， 得：或 练习 练习 方法技巧： 幂函数的注意事项 (1)幂函数的表达式中，的系数必须为“”. (2)当时，幂函数的图象都过点和，且在上单调递增； (3)当时，幂函数的图象都过点，且在上单调递减. 练习 变1.已知幂函数在上单调递增，则等于（）. 解：∵为幂函数 ∴， 又∵幂函数在上单调递增 ∴.即 ∴ 解: 由题意得： 总结: 理解并掌握形如y=xα的形式就是幂函数。 变式2: 为幂函数 ,试求出此函数的解析式. 练习 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 解: 由题意得： 又因为幂函数为增函数，所以m=-3 变式3: 为幂函数且为增函数 ,试求出此函数的解析式. 练习 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 作业 题型二：幂函数的图象及应用   答案：B.在（1，+）上，指大图高. 例2： 方法技巧： 解决幂函数图象问题的原则： (1)根据图象的高低判断幂指数的大小：在上，指数越大，幂函数图象越靠近轴(“指大图低”)；在上，指数越大，幂函数图象越远离轴(即“指大图高”). (2)当时，幂函数的图象都经过和点. B 变式1 2024/1/4 22 解：∵设,则 ∴=2.即 同理可得， 画出和的函数图象， 则由图象可知：当或时，； 当时，； 当时，. 变式2 作业 24 题型三：利用幂函数的单调性比较大小 练习 方法技巧： 比较幂的大小的3种基本方法： 直接法 当幂指数相同时，可直接利用幂函数的单调性来比较 转化法 当幂指数不同时，可以先转化为相同的幂指数，再利用单调性来比较大小 中间量法 当底数不同且幂指数也不同时，不能运用单调性比较大