24.1.2垂直于弦的直径 课件 2023-2024学年人教版九年级数学上册

九年级上 人教版 24.1.2 垂直于弦的直径 学习目标 新课引入 新知学习 课堂小结 1 2 3 4 1.理解圆的对称性． 2.探索并证明垂径定理的性质和推论. 3.灵活运用垂径定理解决相关的计算与应用． 学习目标 重点 难点 新课引入 圆的定义是什么？ · 旋转定义：在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形叫做圆． 集合定义：圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合 什么叫做弦？ 连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径. 弦 直径 什么叫做弧？ 连圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧. 弧 我们学习完圆的定义后，这节课来学习一下圆的性质 探究 问题1：剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次， 你发现了什么？由此你能得到什么？ 圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴. 新知学习 温馨提示：因为对称轴是直线，而直径是线段，所以不能说圆的直径是圆的对称轴. 问题2：你能证明上述结论吗？ 如图，设CD是⊙O的任意一条直径， A为⊙O上点C，D以外的任意一点. 该怎么证明前面的结论呢？ O A＇ D M A · C 证明：过点A，作AA′⊥CD,交⊙O于点A′,垂足为M，连接OA,OA′. 在△OAA′中，OA=OA′, 所以△OAA′是等腰三角形. 又∵AA′⊥CD， ∴AM=MA′. 即CD是AA′的垂直平分线 对于圆上任意一点A，在圆上都有关于直线CD的对称点A′， 因此⊙O关于直线CD对称.即 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴. 如图，AB 是⊙O 的一条弦，直径 CD⊥AB， 垂足为 E.你能发现图中有哪些相等的线段和弧? · O D E A B C 二、垂径定理及其推论 线段：AE = BE 弧： CD是⊙O 直径 CD⊥AB AE=BE ( ( AD=BD ( ( AC=BC 你能证明吗？ 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 归纳 ∵ CD 是⊙O 的直径，CD⊥AB于点E， ∴ AE = BE， 数学语言： · O D E A B C 文字语言：一条直线若满足:①过圆心②垂直于弦 则③平分弦 ④平分弦所对的优弧⑤平分弦所对的劣弧 过圆心 例1 下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？ 是 不是，因为没有垂直 是 不是，因为CD没有过圆心 O A B C A B D C O E A B O E C A B O C D E ①过圆心 ②垂直于弦 例2 如图，OE⊥AB 于 E，若⊙O 的半径为 10 cm，点O到直线AB的距离为 6 cm，则 AB = cm. · O A B E 解析：连接 OA，作OE垂直AB ∵ OE⊥AB， ∴ AB = 2AE = 16 (cm). 16 ∴ (cm). 做辅助线的方法： ①连半径 ②作弦心距 结论：()2 +弦心距2 =半径2 例3 如图，⊙O 的弦 AB＝8 cm ，直径 CE⊥AB 于 D，DC＝2 cm，求半径 OC 的长. · O A B E C D 解：连接 OA. ∵ CE⊥AB 于 D， ∴ 设 OC = OA = x cm，则 OD = x - 2，根据勾股定理，得 解得 x = 5. 即半径 OC 的长为 5 cm. x2 = 42 + ( x - 2)2， 做辅助线的方法：连半径 结论：()2 +弦心距2 =半径2 例4 如图 a、b，一弓形弦长为 　 cm，弓形所在的圆的半径为 7 cm，则弓形的高为____________. C 图 b D C B O A D O A B 图 a 2 cm 或 12 cm 指弧中点到弦的距离 试一试 上面我们学习了垂径定理的文字语言描述如下： · O D E A B C 一条直线若满足: ①过圆心②垂直于弦 则③平分弦 ④平分弦所对的优弧 ⑤平分弦所对的劣弧 已知①② 可推出 ③④⑤ 猜想：已知①③ ？ ②④⑤ 猜想1：如果有