2023年中考数学高频压轴题突破——二次函数中特殊三角形问题

二次函数中 特殊三角形问题 1．如图，抛物线与x轴交于点A，顶点为点P． (1)用含a的代数式表示顶点P的坐标______； (2)把抛物线绕点旋转得到抛物线（其中），抛物线与x轴右侧的交点为点B，顶点为点Q． ①当时，求线段的长； ②在①的条件下，是否存在为等腰三角形，若存在请求出a的值，若不存在，请说明理由． 2．如图，抛物线经过两点，与y轴交于点C，直线经过点B，与y轴交于点D． (1)求抛物线的解析式； (2)将在直线上平移，平移后的三角形记为，直线交抛物线于Q，当时，求点P的坐标． 3．如图，一次函数分别交y轴，x轴于A，B两点，抛物线过A，B两点，点M为直线上一个动点，过点M作x轴垂线交抛物线与点N． (1)求这个抛物线的解析式． (2)当M在线段上时，求的最大值． (3)若为等腰三角形，求点M的坐标． 4．在平面直角坐标系中，横坐标分別为m，，的点A、B、C在抛物线（a为常数，）的图像上，连接，若点O到的距离等于线段的长． (1)求的值； (2)如图1，当时，若点D为直线BC上方抛物线上一点，过点D作x轴的垂线，分别交于点E、F，连接，若为直角三角形，求点D的坐标； (3)如图2，当时，连接，点G为的中点，是第四象限抛物线上一动点，连接交抛物线于点S，直线与直线交于点N．问点是否在一条定直线上？若是，求该直线的表达式；若不是，请说明理由． 5．如图，在平面直角坐标系中，二次函数交x轴于点、，交y轴于点，在y轴上有一点，连接． (1)求二次函数的表达式； (2)若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值； (3)抛物线对称轴上是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在，请说明理由． 6．自从我校九年级数学兴趣学习小组成立以来，参与同学集思广益，兴趣盎然，一次某学习小组为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践——应用——探究的过程 【实践】：（1）他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道进行测量，测得隧道的路面宽为10米，隧道顶部最高处距地面米，并画出了隧道截面图，建立了如图1所示的直角坐标系，请你求出抛物线的解析式 【应用】：（2）按规定机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖起方向上的高度差至少为米，为了确保安全，问该隧道能否让最宽米，最高米的两辆车居中并列行驶（不考虑两车之间的空隙，可借助图2解决）？ 【探究】：（3）该课题学习小组为进一步探究抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，提出了以下问题，请予解答： 如图3，过原点作一条直线，交抛物线于，交抛物线的对称轴于，为直线上一动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，问在直线上是否存在点，使以点、、为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 7．如图，抛物线的图像与轴交于A，B两点，与轴交于点C，其中，B点坐标为，C点坐标为，点D是抛物线上一动点，点P是抛物线对称轴上一动点．    (1)求此抛物线的解析式； (2)动点D位于直线下方的抛物线上时，连接，，是否存在点D使得的面积最大，若存在，求出此时点D的坐标；若不存在，说明理由； (3)动点P在对称轴上何处时，使得为直角三角形，求出此时P点坐标． 8．如图，抛物线与轴交于、，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)在直线上方的抛物线上找一点，过点作轴于，交于点，当点的横坐标运动到什么位置时，线段最长？此时等于多少？ (3)在该抛物线上是否存在一点，使得三角形是直角三角形？若存在，求出所有满足条件点的坐标；若不存在，请说明理由．只考虑以为直角边的情形 9．如图，抛物线与坐标轴分别交于点A，，，点P是抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴L上找一点M，使的值最小，求出点M的坐标； (3)当点P运动到什么位置时，是以为直角边的直角三角形？直接写出点P坐标． 10．将抛物线：向下平移6个单位长度得到抛物线，再将抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线． (1)直接写出抛物线，的解析式； (2)如图，点在抛物线上（对称轴右侧），点在对称轴上，是以为斜边的等腰直角三角形，求点的坐标． 11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于原点O和点，点在抛物线上．      (1)求抛物线的表达式，并写出它的对称轴； (2)若点P为线段上方抛物线上的点，过点P作x轴的垂线，交于点Q，求线段长度的最大值． (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点N，使得为以为腰的等腰三角形，若不存在，请说明理由，若存在，请直接写出点N的坐标． 12．已知如图1，二次函数与轴交于点，两点，且点在点的右侧，与轴交于点，连结． (1)求点、的坐标； (2)如图，将点向下平移个单位得到，将向左平移个单位得，将向左平移个单位得，若与均在