2023年中考数学高频压轴题突破——二次函数与相似三角形

2023年中考数学高频压轴题突破——二次函数与相似三角形 1．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是x＝且经过A，C两点，与x轴的另一交点为点B． （1）求抛物线解析式． （2）抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点A，与轴交于点C，过点C的抛物线与直线AC交于另一点B(4，3)． (1)求抛物线的表达式； (2)已知轴上一动点Q(，0)，连接BQ，若△ABQ与△AOC相似，求出的值． 3．如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，且OA＝2OB，与y轴交于点C，连接BC，抛物线对称轴为直线x＝，D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DE⊥OA于点E，与AC交于点F，设点D的横坐标为m． （1）求抛物线的表达式； （2）当线段DF的长度最大时，求D点的坐标； （3）抛物线上是否存在点D，使得以点O，D，E为顶点的三角形与相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 4．如图，已知抛物线与轴交于、两点，，交轴于点，对称轴是直线． （1）求抛物线的解析式及点的坐标； （2）连接，是线段上一点，关于直线的对称点正好落在上，求点的坐标； （3）动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向点运动，过作轴的垂线交抛物线于点，交线段于点．设运动时间为（）秒．若与相似，请求出的值． 5．已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点. （1）填空： ， . （2）如图1，已知，过点的直线与抛物线交于点、，且点、关于点对称，求直线的解析式. （3）如图2，已知，是第一象限内抛物线上一点，作轴于点，若与相似，请求出点的横坐标. 6．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过原点，顶点为，且与直线相交于两点. （1）求抛物线的解析式； （2）求、两点的坐标； （3）若点为轴上的一个动点，过点作轴与抛物线交于点，则是否存在以为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由. 7．如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A(1，1)，且与直线交于B，C两点． （1）求抛物线的解析式及点C的坐标； （2）求△ABC的面积； （3）若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 8．在直角坐标平面内，直线分别与轴、轴交于点，.抛物线经过点与点，且与轴的另一个交点为.点在该抛物线上，且位于直线的上方. （1）求上述抛物线的表达式； （2）连接，，且交于点，如果的面积与的面积之比为，求的余切值； （3）过点作，垂足为点，连接.若与相似，求点的坐标. 9．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，点，与轴相交于点，与抛物线的对称轴相交于点. （1）求该抛物线的表达式，并直接写出点的坐标； （2）过点作交抛物线于点，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，点在射线上，若与相似，求点的坐标. 10．如图，已知二次函数y＝x2﹣4的图象与x轴交于点A、B（点A位于点B的左侧），C为顶点．一次函数y＝mx+2的图象经过点A，与y轴交于点D． （1）求直线AD的函数表达式； （2）平移该抛物线得到一条新抛物线，设新抛物线的顶点为C′．若新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线CC′平行于直线AD，且当1≤x≤3时，新抛物线对应的函数值有最小值为﹣1，求新抛物线对应的函数表达式； （3）如图，连接AC、BC，在坐标平面内，直接写出使得△ACD与△EBC相似（其中点A与点E是对应点）的点E的坐标． 11．如图，已知抛物线(k为常数，且)与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C过点B的直线与抛物线的另一交点为D． 若点D的横坐标为，求抛物线的函数表达式； 过D点向x轴作垂线，垂足为点M，连结AD，若，求点D的坐标； 若在第一象限的抛物线上有一点P，使得以点A，B，P为顶点的三角形与相似，请直接写出的面积． 12．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点A（4，0）是抛物线y=ax2+2x-c上的一点，将此抛物线向下平移6个单位后经过点B（0，2），平移后所得的新抛物线的顶点记为C，新抛物线的对称轴与线段AB的交点记为P． （1）求平移后所得到的新抛物线的表达式，并写出点C的坐标； （2）求∠CAB的正切值； （3）如果点Q是新抛物线对称轴上的一点，且△BCQ与△ACP相似，求点Q的坐标． 13．如图，在平面直角坐标系中，二次函数与轴交于，两点（点在点的左侧），经过点的直线与轴交于点，与抛物线的另一个交点为，且.