2023年中考数学高频压轴题训练——圆的切线的证明

2023年中考数学高频压轴题训练——圆的切线的证明 1．如图，在正方形ABCD中，以BC为直径作半圆O，以点D为圆心、DA为半径做圆弧交半圆O于点P．连结DP并延长交AB于点E． （1）求证：DE为半圆O的切线； （2）求的值． 2．如图，是的直径，切于点B，C是圆上一点．过点C作的垂线，交于点P，与的延长线交于点E，且，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 3．如图，AB是⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于D，过D作DE⊥AC交AC延长线于点E，交AB延长线于点F． （1）求证：EF是⊙O的切线； （2）若DE=，tan∠BDF=，求DF的长． 4．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若，AC=8，求DE的长． 5．已知：如图，在中，，以为直径的交于点，过点作于点． （1）求证：是的切线． （2）若的半径为，，求图中阴影部分的面积． 6．如图，⊙过的顶点、，交于，连接、、，． （1）证明：为⊙的切线； （2）平分交于，且分别交、⊙于、．已知，，求的值． 7．如图，四边形内接于⊙O，为⊙O的直径，为的中点，过点作//，交的延长线于点． （1）判断与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若⊙O的半径为6，，求的长． 8．如图，O是ABC的边AB上一点，⊙O经过点A、C，交AB于点D．过点C作CE⊥AB，垂足为E．连接CD，CD恰好平分∠BCE． （1）求证：直线BC是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为3，CD＝2，求BC的长． 9．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作半圆⊙O，交BC于点D，连接AD，过点D作DE⊥AC，垂足为点E，交AB的延长线于点F． （1）求证：EF是⊙O的切线； （2）如果⊙O的半径为5，cos∠DAB=，求BF的长． 10．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝8，D为AB的中点，连接CD，以CD为直径作⊙O交CB于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F． （1）判断EF与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）求阴影部分的面积． 11．如图，以AB为直径的经过的顶点C，过点O作交于点D，交AC于点F，连接BD交AC于点G，连接CD，在OD的延长线上取一点E，连接CE，使． （1）求证：EC是的切线 （2）若的半径是3，，求CE的长． 12．如图，的对角线交于点E，以为直径的经过点E，与交于点F,G是延长线上一点，连接，交于点H，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的直径． 13．如图，AB是的直径，AC是的一条弦，点P是上一点，且PA=PC，PD//AC，与BA的延长线交于点D. （1）求证:PD是的切线； （2）若tan∠PAC= ，AC = 12.求直径AB的长. 14．如图，在中，，以为直径的分别交，于点，，点在的延长线上，且． （1）求证，直是的切线； （2）若，，，求线段的长． 15．如图，在ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在以AB为直径的⊙O上，且CD＝CA． （1）求证：CD是⊙O切线． （2）求tan∠AEC的值． 16．如图，为的直径，，，连接并延长，分别交于点、，连接． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若的半径为1，求的值． 17．如图，已知Rt△ABC，∠ABC=90°，AB为⊙O的直径，斜边AC交⊙O于点E，AC平分∠DAB，ED⊥AD于D，DE的延长线与BC交于点F． （1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）求证：CF＝BF； （3）若AD∶AB=3∶4，DE＝，求EF的长． 18．如图，四边形中，.以为圆心，以为半径作． 求证：是的切线． 连接并延长交于点延长交于点，与的延长线交于点 ①补全图形； ②若，求证：． 试卷第6页，共6页 试卷第1页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．（1）证明见解析；（2） 【分析】（1）根据SSS证得△ODP≌△ODC，从而证得∠OPD＝∠OCD＝90°，即可证得结论； （2）根据切线长定理和相似三角形的判定与性质得到：（AB﹣EB）2＝EB（2AB+EB），整理得到AB＝4EB，即可证得AE＝3EB，从而求得 【解析】（1）证明：连接OP，OD， ∵BC是⊙O的直径， ∴OP＝OC， ∵以点D为圆心、DA为半径做圆弧， ∴PD＝CD， 在△ODP和△ODC中， ， ∴△ODP≌△ODC（SSS）， ∴∠OPD＝∠OCD＝90°， ∵P点在⊙O上， ∴DE为半圆O的切线； （2）解：∵以点D为圆心、DA为半径做圆，延长ED与圆的另一个交点为H，连接AP, 四边形ABCD是正方形， ∴EA是⊙D的切线， 为圆D的直径，