2023年中考数学专题训练——圆与相似三角形综合

2023年中考数学专题训练——圆与相似三角形综合 1．如图，圆中，过圆心，为圆的一条弦，且，垂足为，，交于点． （1）求证：； （2）若，求的值． 2．如图，是的外接圆，直线与相切于点，连接交于点． （1）求证：平分； （2）若的平分线交于点，且，，求的长． 3．如图，在中，，点是边上一点，以为直径的圆与边相切于点，与边交于点，过点作于点，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长． 4．如图，点I是△ABC的内心，BI的延长线与△ABC的外接圆⊙O交于点D，与AC交于点E，延长CD、BA相交于点F，∠ADF的平分线交AF于点G． （1）求证：DG是⊙O的切线； （2）若DE＝4，BE＝5，求DI的长． 5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，AB的延长线与过点C的直线相交于点P，过点A作AE垂直于直线CP，垂足是E，交⊙O于点D， AC平分∠BAD．    （1）证明：E P是⊙O 的切线； （2）若PB﹕PC=1﹕2，探究线段 PB和AB之间的数量关系，并说明理由． 6．如图，已知AB是圆O的直径，点C是圆上异于A，B的一点，连接BC并延长至点D，使得，连接AD交于点E，连接BE． （1）求证：是等腰三角形； （2）连接OC并延长，与B以为切点的切线交于点F，若，求的长． 7．如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，延长AB到点D，使CD=CA，且． （1）求证：是⊙O的切线． （2）分别过A、B两点作直线CD的垂线，垂足分别为E、F两点，过C点作AB的垂线，垂足为点G．求证：． 8．如图，在中，，平分交于点，过点和点的圆，圆心在线段上，交于点，交于点． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的长． 9．如图，中，，以为直径的圆与相交于点，与的延长线相交于点，过点作于点 （1）求证：是圆的切线； （2）若，，求的长． 10．已知AB是半径为1的圆O直径，C是圆上一点，D是BC延长线上一点，过点D的直线交AC于E点，交AB于点F，DF=BF，EA=EF． （1）求证：△AEF为等边三角形； （2）若CF⊥AB，①试说明DC = CF；②求AD的长． 11．如图，在钝角中，，以为直径作圆，交于点，连结并延长，交于点，连结． （1）求证：四边形是平行四边形。 （2）延长线段交于点，连结交线段于点，若，时，求的直径长． 12．如图，在中，，以点为圆心，适当的长为半径作弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线，交于点．点在斜边上，以点为圆心，的长为半径的圆恰好经过点． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的半径． 13．如图，是的外接圆，的平分线交于点，交于点，过作直线，连接． （1）求证:是的切线； （2）若，求的长． 14．如图，E为圆O上的一点，C为劣弧EB的中点．CD切于点C，交的直径AB的延长线于点D．延长线段AE和线段BC，使之交于点F． （1）求证：和都是等腰三角形； （3）若，，求EF的长． 15．已知在Rt△ABC中，∠C=90°；以斜边AB上的一点O为圆心作圆O，与AC、BC分别相切与点D、E． (1)求证：CD=CE； (2)若AC=8，AB=10；求AD的长． 16．如图，是的外接圆，是的直径，点D在上，平分，过点C的切线交直径的延长线于点E，连接、． （1）求证：； （2）若，求的长． 17．如图，四边形ABCD是⊙O的圆内接四边形，DE∥AC交BC的延长线于点E． （1）求证：AB·DE=BD·DC； （2）如果AD=CD，求证：DE为⊙O的切线． 18．如图所示，△ABC是圆O的内接三角形，过点O作OD⊥AB与点D，连接OA，点E是AC的中点，延长EO交BC于点F． （1）求证：△CEF∽△ODA． （2）若，△ABC是不是等腰三角形？并说明理由． 试卷第6页，共6页 试卷第1页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．（1）见解析；（2） 【分析】（1）连，根据AB垂直平分,得出AC=AD,再根据勾股定理求解即可； （2）先证明，得出，设，根据为直角三角形，得出a=4b,再根据三角函数求解即可． 【解析】（1）连 过圆心，且 垂直平分 ∵ （2）连接OD, ，， ∴ ∵, ∴ 令， 设 为直角三角形 ， ∴CO=2a=8b, 且 ∴ 在RT△OBC中，CB=， 【点评】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质及锐角三角函数，解题的关键是熟练掌握这些性质． 2．（1）见解析；（2） 【分析】（1）连接OE，利用垂径定理、圆周角、弧、弦的关系证得结论； （2）根据题意证明BE=EF，得到BE的长，再证明△EBD∽△EAB得到， 求出AE，从而得到AF． 【解析】解：（1）连接OE． ∵直线EG与⊙