5.4.3 正切函数的性质与图像课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.4.3 正切函数的性质与图像 1 学习目标 1.了解正切函数图象的画法,理解并掌握正切函数的性质.(数学抽象和直观想象) 2.能利用正切函数的图象及性质解决有关问题.(逻辑推理) 思维导图 复习回顾 思考 什么是正切函数？ 类似于正弦函数,我们可以定义正切函数:y=tan x. 对任意一个x,都有唯一确定的正切值tan x与之对应. 我们在正弦函数中,研究了它的图象,以及定义域、值域、单调性、奇偶性等性质.那么,正切函数的图象有什么特点?它又有哪些上述的性质呢? 探究新知 一、正切函数的性质 1. 定义域： 2. 奇偶性： 由诱导公式 可知，正切函数是奇函数. 3. 周期性: 由诱导公式 可知，正切函数是周期函数，且最小正周期为. 正切函数的周期性和奇偶性对研究它的图象会有什么帮助？ 可以先考察函数的图像，然后再根据奇偶性、周期性进行拓展. 探究新知 二、正切函数的图像 1. 正切函数的图像 设角的终边与单位圆的交点为 则=AT y x O B T M A(1,0) x x y 1 -1 正切函数 的图像 正切函数 的图像 正 切 曲 线 探究新知 一、正切函数的性质 4. 单调性： 观察正切曲线图像可知，正切函数在，每一个开区间上都单调递增，无单调减区间. 探究新知 一、正切函数的性质 5. 值域： 当时，可取内任意实数值，但没有最大值和最小值，因此，正切函数的值域是. 探究新知 一、正切函数的性质 6. 渐近线： 当时函数值趋近于正无穷和负无穷，所以为其渐近线. 探究新知 一、正切函数的性质 7. 零点： 观察正切曲线可知，其零点为. 探究新知 一、正切函数的性质 8. 对称性： 观察正切曲线可知，正弦曲线不是轴对称图形，而是中心对称图形，其对称中心为. 知识梳理 解析式 定义域 值域 奇偶性 周期性 单调性 渐近线 零点 对称性 奇函数 最小正周期为 每一个开区间上都单调递增，无单调减区间 对称中心为 例1.不求值，分别比较下列各组正切值的大小. 三、例题解析 题型1 比较大小 反思感悟 正切函数的单调性在比较大小中的应用技巧 利用正切函数的单调性比较两个正切值的大小,实际上是将两个角利用函数的周期性或诱导公式放在同一个单调区间内进行比较. 题型2 求函数的定义域、最小正周期及单调区间 17 反思感悟 求正切函数定义域的方法及注意点: 求与正切函数有关的函数的定义域时,除了求函数定义域的一般要求外,还要保证正切函数y=tan x有意义,即x≠ +kπ,k∈Z.而对于构建的三角不等式,常利用正切函数的图象求解.解形如tan x>a的不等式的步骤: 求单调区间的方法及注意点 例1求下列函数的定义域和值域: 分析根据正切函数的定义域和值域并结合正切函数的图象求解. 小试牛刀 例3不通过求值,比较下列各组中两个三角函数值的大小: 分析利用周期性化角到某个单调区间内→利用函数的单调性比较大小 素养形成 正切函数图象与性质的综合应用 典例 画出函数y=|tan x|的图象,并根据图象判断其定义域、值域、单调区间、奇偶性、周期性. 方法点睛 解答正切函数图象与性质问题的注意点 课堂小结 1.知识清单： (1)正切函数图象的画法； (2)正切函数的性质. 2.方法归纳：三点两线法，整体代换，换元. 3.常见误区：最小正周期T＝ ，在定义域内不单调，对称中心为 (k∈Z). 本 课 结 束 吃不了学习的苦，就要吃生活的苦，不读书的人永远只能被生活选择。你读书时偷的懒，要用一辈子去还，请努力让自己变得优秀，然后，昂首面对生活的挑战。 35 反思感悟 正切函数y=tan x在每一个区间(-+kπ,+kπ)(k∈Z)上都单调递增,求函数y=Atan(ωx+φ)的单调区间,当ω>0时,只需由-+kπ<ωx+φ<+kπ(k∈Z)解出x的取值范围,但若ω<0,可先利用诱导公式将自变量x的系数化为正,还要注意A的正负对函数单调性的影响. 反思感悟 与正切函数有关的函数的周期性、奇偶性: (1)一般地,函数y=Atan(ωx+φ)的最小正周期为T=,常利用此公式来求与正切函数有关的周期. (2)函数y=tan x是奇函数,其图象关于原点对称.若函数y=tan(ωx+φ)是奇函数,则φ=(k∈Z). (1)f(x)=tan; (2)f(x)=. 解 (1)依题意得x-≠kπ+,k∈Z, 所以x≠2kπ+,k∈Z. 所以函数的定义域是. 由正切函数的值域可知该函数的值域是(-∞,+∞). (2)依题意-tan x≥0,所以tan x≤. 结合y=tan x的图象可知,在区间上,满足tan x≤的角x应满足 -<x≤, 所