5.1.2 垂线 课件 2023-2024学年人教版七年级数学下册

5.1.2 垂线 如图,是相交线的模型,固定木条 a,转动木条 b.当 b 的位置变化时,a,b 所成的∠ 也会发生变化. a b b 如图,是相交线的模型,固定木条 a,转动木条 b.当 b 的位置变化时,a,b 所成的∠ 也会发生变化. a b a b a b 当∠ =90 时,我们说 a 与 b 互相垂直,记作 a⊥b. 新知 a b 垂直是相交的一种特殊情形,两条直线互相垂直,其中的一条直线叫做另一条直线的_,它们的交点叫做_.在下图中,AB⊥CD,_为 O. A B C D O A B C D O 垂线 垂足 垂足 1.垂直是两条直线的位置关系,如果 a 是 b 的垂线,那么 b 也是 a 的垂线. 2.垂线是直线,不是线段或射线,不能测量其长度. 3.线段、射线的垂直是指它们所在的直线垂直. 根据两条直线垂直的定义可知,如果两条直线相交所成的四个角中的任意一个角等于 90 ,那么这两条直线垂直. 下图中,如果直线 AB,CD 相交于点 O,∠AOD=90 , 那么 AB⊥CD. 这个推理过程可以写成下面的形式: 因为_, 所以_(垂直的定义). ∠AOD=90 AB⊥CD A B C D O 如果 AB⊥CD ,那么∠AOD 是多少度?你能得出什么结论? 问题 得出结论:垂直的定义既是判定也是性质,即 ∠AOD=90 AB⊥CD. 判定 性质 如果 AB⊥CD ,那么∠AOD 是90 . A B C D O 如下图,在日常生活中,两条直线互相垂直的情形很常见: 你能再举出其他例子吗? 探究 (1)用三角尺或量角器画已知直线 l 的垂线,这样的垂线能画出几条? 思考:如何用三角尺画垂线? 第 1 步:让三角尺的一条直角边落在已知直线上,使其与已知直线重合; 第 2 步:沿另一直角边画直线,这条直线就是已知直线的垂线. 探究 (1)用三角尺或量角器画已知直线 l 的垂线,这样的垂线能画出几条? 无数条 l (2)经过直线 l 上一点 A 画 l 的垂线,这样的垂线能画出几条? 探究 思考:过直线上的一点如何用三角尺画垂线? 第 1 步:让三角尺的一条直角边落在已知直线上,使其与已知直线重合; 第 2 步:沿直线移动三角尺,使其另一条直角边经过已知点; 第 3 步:沿此直角边画直线,这条直线就是已知直线的垂线. (2)经过直线 l 上一点 A 画 l 的垂线,这样的垂线能画出几条? 探究 l A 一条 (3)经过直线 l 外一点 B 画 l 的垂线,这样的垂线能画出几条? 探究 l B 一条 仿照过直线上一点画已知直线的垂线,画出垂线. 过一点画已知直线的垂线,其本质就是利用三角尺(或量角器),使过一点的直线与已知直线所形成的夹角为 90 . 垂线的性质 经过一点(已知直线上或直线外),能画出已知直线的一条垂线,并且只能画出一条垂线.即 在同一平面内,过一点_直线与已知直线垂直. 归纳 有且只有一条 仔细观察下面的动图,进一步感受“过直线上一点”“过直线外一点”画垂线的方法. 仔细观察下面的动图,进一步感受“过直线上一点”“过直线外一点”画垂线的方法. 仔细观察下面的动图,进一步感受“过直线上一点”“过直线外一点”画垂线的方法. 思考 如图,在灌溉时,要把河中的水引到农田 P 处,如何挖渠能使渠道最短? 要解决这个问题,我们需要找到河渠中到点 P 的距离最近的点.如何确定这个点呢? 探究 如图,连接直线 l 外一点 P 与直线 l 上各点O,A1,A2, A3,…,其中 PO⊥l (我们称 PO 为点 P 到直线 l 的_) .比较线段 PO, PA1,PA2, PA3,…的长短,这些线段中,哪一条最短? P O A1 A2 A3 A4 … 可以发现:垂线段 PO 最短. 垂线段 归纳 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短. 简单说成:_. 直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的 距离. 垂线段最短 特别提醒 垂线是直线,垂线段是线段,这两者是图形;点到直线的距离是垂线段的长度,是一个数量,不能画,可以测量. 思考 现在你知道水渠该怎么挖了吗?在图中画出来. A AP 即为最短的渠道. 仔细观察下面的动图,直观地感受“垂线段最短”. 仔细观察下面的动图,直观地感受“垂线段最短”. 例1 (1)过点P分别画OA,OB的垂线. A O B P O B A P 在画垂线时,要标记垂直符号. 例1 (2)过点A画BC的垂线. A B C 例2 如图. (1)点 B 到直线 AD 的距离是线段_的长度; 点 D 到直线 AB 的距离是线段_的长度. (2)在线段 DA ,DB, DC 中,_最短; 在线段 BA,BE,BD 中,_最短. 解析:(1)点 B 到直线 AD 的距离是指过点 B 向 AD 所