第1讲 导数与函数的单调性 常见题型期末复习讲义-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第1讲 导数与函数的单调性 1、 【考点聚焦】 1．函数的单调性：增函数与减函数 一般地，设函数的定义域为I: 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说函数在区间D上是单调递增函数.(如图(1)所示) 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递减函数.(如图(2)所示) 2.单调性与单调区间： 如果一个函数在某个区间M上是单调递增函数或是单调递减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性，区间M称为单调区间. 3.函数的单调性与其导函数值的正负关系 在内可导函数，在任意子区间内都不恒等于0. 且不恒等于0⇔在上为增函数． 且不恒等于0⇔在上为减函数． 4.求解函数单调性问题的思路： （1）已知函数在区间上单调递增或单调递减，转化为 f (x)  0 或 f (x)  0 恒成立； （2）已知区间上不单调，转化为导函数在区间上存在变号零点，通常利用分离变量法求解参变量的范围； （3）已知函数在区间上存在单调递增或单调递减区间，转化为导函数在区间上大于零或小于零有解. 5.原函数单调性转化为导函数给区间正负问题的处理方法 （1）参变分离； （2）导函数的根与区间端点直接比较； （3）导函数主要部分为一元二次时，转化为二次函数根的分布问题.这里讨论的以一元二次 为主。 6.求解函数单调性问题方法提炼： （1）将函数调增（减）转化为导函数 恒成立； （2） ，由 可将恒成立转化为恒成立； （3）由“分离参数法”或“分类讨论”，解得参数取值范围。 2、 【典例分析】 题型一 利用导数判断单调性（求单调区间）——不含参数 1. 若，则的解集为（ ） 2. 函数是减函数的区间为（ ） 3. 已知函数，当时，讨论的单调性. 4. 已知函数，讨论的单调性. 【变式练习】 1.函数的单调递减区间为（ ） 2.已知，函数，当时，求的单调区间. 题型二 利用导数求单调性——含参数 1. 设函数，为的导函数，求的单调区间. 2. 设函数，求的单调区间. 3. 已知函数，讨论的单调性. 【变式练习】 1. 已知函数，讨论的单调性. 2. 已知函数，讨论函数的单调性. 3. 已知函数，讨论函数的单调性. 题型三 已知单调区间求参数范围 1. 若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） 2. 若函数恰好有三个单调区间，则实数的取值范围是（ ） 3. 已知函数在区间上不单调，则的取值范围是 . 4. 已知，函数. （1） 若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值； （2） 若函数在区间上单调递减，求的取值范围. 5. 已知函数为实数. （1） 当时，讨论的单调性； （2） 若在区间上单调递减，求实数的取值范围. 【变式练习】 1.已知函数, 若函数在上是单调递增的，求的取值范围． 2.若函数在上单调递增，求实数的取值范围； 题型四 利用单调性证明（解）不等式 1.已知函数，其中e是自然数对数的底数，若，则实数a的取值范围是( ) 2.（1）证明：当，； （2）若，证明：当，. 【变式练习】 1. 已知函数，如果成立，则实数的范围为（ ） 2. （1）证明：当，； （2）证明：当，. 题型五 导函数与函数图象的关系 1. 函数的图象大致为（ ） A B C D 2. 已知函数的图象如图所示，则的图象可能是（ ） A B C D 3. 如图所示为的图象，则函数的单调递减区间是（ ） 4. 函数数的图象大致为（ ） A B