3.3 幂函数 课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

3.3 幂 函 数 第三章 函数的概念与性质 （一）情境引入 如果你原地踏步，一年之后你还是那个1 如果你每天进步一点点，一年之后你的进步远远大于1 如果你每天退步哪怕一丢丢，一年之后你将退步到近乎为0 1.数学中蕴含的人生哲理 （一）情境引入 （1）张红去菜市场买蔬菜，购买了每千克1元的蔬菜 千克，那么她需要付的钱数 元 （2）她将买的蔬菜放入一个边长为 的正方体塑料箱中，则正方体的底面 面积 正方体的体积 2.张红买菜遇到的函数 （3）她买菜的摊位恰好是一个占地面积为 的正方形，那么正方形的边长 （4）她把菜放入自行车，准备骑回家，如果她 s内骑车行进了1 km， 那么她骑车的平均速度 .即 问题1：如果去掉这些变量的实际意义，将自变量用 表示，因变量用 表示，上面的实际问题得到哪些函数解析式? 问题2：观察这五个函数的解析式，它们有什么共同特征? （1）幂的形式 （2）幂的底数 为自变量 （3）幂的指数为常数 特征 抽象 （二）新知探究 注：幂函数的表达式中，的系数必须为“”. 一般地，形如的函数，叫做幂函数（power function)，其中为常数． 幂函数的概念 【即时小测】下面几个函数中，哪几个函数是幂函数? √ √ 数学史小知识 1.自乘之数曰幂.——徐光启《几何原本》 “幂”的由来 第一次给幂这个概念下定义的是我国明代著名的科学家、政治家徐光启,同时他还是一位沟通中西文化的先行者。徐光启在和意大利人利玛窦合译欧几里德《几何原本》时，给幂字下注解：“自乘之数曰幂”. 2.数学史上很早就借用“幂”字，起先用于表示面积，后来扩充为表示平方或立方.1859年中国清末大数学家李善兰(1811～1882)译成《代微积拾级》一书，创设了不少数学专有名词，如函数、极限、微分、积分等，并把“Power”这个词译为“幂”． “幂”的由来 杨幂名字的来历：杨幂的爸爸叫杨晓林，职业是民警，杨幂的妈妈叫杨春玲。爸爸妈妈都姓杨，加上她一共三个姓杨， 杨×杨×杨=杨的三次方，三次方又是三次幂，故取名杨幂。 问题3：对于幂函数，我们只研究时的图象与性质.结合以往学习函数的经验，你认为应该如何研究这些函数？ 通常可以先根据函数解析式求出函数的定义域，画出函数的图象；再利用图象和解析式，讨论函数的值域、单调性、奇偶性等问题. 课堂活动一：尝试在同一坐标系中画出函数和图象.(取点要具有代表性) 课堂活动二：观察函数图象并结合函数解析式，将你发现的结论写在下表内. 图象 定义域 值域 奇偶性 单调性 在 和 上单调递减 在 上单调递增 在 上单调递增 在 上单调递增 在 上单调递减， 在 上单调递增 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 非奇非偶函数 课堂活动三：小组合作探究 从这些函数的图象可以看出幂函数随着幂指数的取值不同，它们的性质和图象也存在着差异，这些差异之间存在着哪些共性和个性呢?同学们根据表格和图象，小组交流讨论下列问题。 （1）幂函数都过哪一个点? （2）幂函数的奇偶性与指数有怎样的关系? （3）在第一象限内，幂函数的单调性与指数 有怎样的关系? 过定点（1,1） 幂函数的奇偶性 α为奇数时，幂函数为奇函数 α为偶数时，幂函数为偶函数 幂函数的单调性 α<0，在（0，+∞）是减函数 α>0，在（0，+∞）是增函数 幂函数的图象变化趋势 当α>1时， 下凹 当0<α<1时， 上凸 当α<0时，向上与y轴无限接近， 向右与x轴无限接近 课堂活动四：做函数操，动起来！ （三）新知应用 BD 2.证明幂函数是增函数. 3.比较下列各组数中两个数的大小. > < 课堂小结 1.本节课我们学习了哪些知识点？ 2.研究一类函数的一般方法和步骤是什么？ 定义、解析式 函数图象和性质 定义域 值域 单调性 奇偶性 数形结合 特殊→一般 （四）课堂小结 应用 分类讨论 （五）课后作业 1.（书面独立完成）课本P91的练习1、2、3题. 2.（小组合作完成）课本P92函数 的图象和性质. 感谢各位老师和同学的聆听！ （2） （3） （4） （5） （6） 1.（多选）若幂函数 的图象经过 ，则（     ） A. 的定义域为 B. 的值域为 C. 为奇函数 D. 在 单调递减 （1） 与