专题06圆的方程-【寒假自学课】2024年高二数学寒假提升学与练（沪教版2020）

专题06圆的方程 一．圆的标准方程 1.基本要素：当圆心的位置与半径的大小确定后，圆就唯一确定了，因此，确定一个圆的基本要素是圆心和半径. 2.标准方程：圆心为，半径为r的圆的标准方程是. 3.图例： 若点在圆上，则点的坐标适合方程；反之，若点的坐标适合方程，则点M在圆上. 二．圆的标准方程的推导 如图，设圆的圆心坐标为，半径长为r(其中a,b,r都是常数，r>0).设为该圆上任意一点，那么圆心为C的圆就是集合.由两点间的距离公式，得圆上任意一点M的坐标(x,y)满足的关系式为 ①，①式两边平方，得. 三．求圆的标准方程 求圆的标准方程的常用方法包括几何法和待定系数法． （1）几何法，常用到圆的以下几何性质：①圆中任意弦的垂直平分线必过圆心；②圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心． （2）圆的标准方程中含有三个参数a，b，r，运用待定系数法时，必须具备三个独立的条件才能确定圆的方程．这三个参数反映了圆的几何性质，其中圆心（a，b）是圆的定位条件，半径r是圆的定形条件． 四．点与圆的位置关系 圆C：，其圆心为，半径为，点， 设. 位置关系 与的大小 图示 点P的坐标的特点 点在圆外 点在圆上 点在圆内 五．圆的一般方程 1．定义 当时，方程表示一个圆，这个方程叫做圆的一般方程，其中圆心为，半径. 2．推导过程 把圆的标准方程展开，并整理得.取， 得： ①. 把①的左边配方，并把常数项移到右边，得. 当且仅当时，方程表示圆，且圆心为，半径长为； 当时，方程只有实数解，所以它表示一个点； 当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． 六．待定系数法求圆的一般方程 求圆的方程常用“待定系数法”，用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是： ①根据题意，选择标准方程或一般方程； ②根据条件列出关于或的方程组； ③解出或，代入标准方程或一般方程． 一．圆的标准方程（共2小题） 1.（2023·上海市上海中学高二期中） 已知一个圆的方程满足：圆心在点，且过原点，则它的方程为（ ） A. B. C. D. 2.（2023春·上海市松江一中高二期中） 设m为实数，若方程表示圆，则m的取值范围为______． 3．（2022春•崇明区校级期中）圆心为（﹣1，﹣3），半径为3的圆的标准方程为 　 　． 2． 点与圆的位置关系（共2小题） 4.两个点、与圆的位置关系是（ ） A．点在圆外，点在圆外 B．点在圆内，点在圆内 C．点在圆外，点在圆内 D．点在圆内，点在圆外 三．圆的一般方程（共2小题） 5．（2022秋•杨浦区校级期中）圆x2+y2﹣2x﹣3＝0的半径为 　　． 6．（2022春•金山区期中）过圆x2+y2﹣4x＝0的圆心且与直线2x+y＝0垂直的直线方程为 　 　． 四．求参数范围（共1小题） 7．（2022·上海理工大学附属中学高二期中）若方程表示一个圆,则的取值范围是 A． B． C． D． 8．（2022·上海市宝山中学高二期中）方程表示圆，则实数的取值范围是_________. 一、填空题 1. （2023春·上海市控江中学高二第二学期期中）圆的参数方程为（为参数），则此圆的半径为___________. 2. （2023春·上海市控江中学高二第二学期期中）在极坐标系中，圆的圆心到直线的距离为__________. 3. 方程表示的曲线是_________． 4. 已知过和且与轴相切的圆有且只有一个，则的值为___________. 5. 已知点在圆外，则实数的取值范围为______． 6. 已知，方程表示圆，则圆心坐标是__． 7. 已知点，，动点满足为定值，若的轨迹表示一个圆，则实数的取值范围为________． 8．（2022·上海市嘉定区第一中学高二阶段练习）圆关于直线对称的圆的方程为______． 9．（2022·上海市青浦高级中学高二阶段练习）几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点M、N是锐角的一边QA上的两点，试在边QB上找一点P，使得最大”，如图，其结论是：点P为过M、N两点且射线QB相切的圆的切点，根据以上结论解决以下问题： 在平面直角坐标系xOy中，给定两点、，点P在x轴上移动，当取最大值时，点P的坐标为___________ 10．（2022·上海·华师大二附中高二阶段练习）如图，正方形ABCD的边长为20米，圆O的半径为1米，圆心足正方形的中心，点P、Q分别在线段AD、CB上，若线段PQ与圆O有公共点，则称点Q在点P的“盲区”中. 已知点P以1.5米/秒的速度从A出发向D移动，同时，点Q以1米/秒的速度从C出发向B移动，则点P从A移动到D的过程中，点Q在点P的育区中的时长约为____