专题06 复数的四则运算（六大考点）-【寒假自学课】2024年高一数学寒假提升学与练（人教A版2019）

专题06 复数的四则运算 思维导图 核心考点聚焦 考点一：复数代数形式的加、减运算 考点二：复数加减法的几何意义 考点三：复数模的综合问题 考点四：复数代数形式的乘法运算 考点五：复数代数形式的除法运算 考点六：在复数范围内解方程 知识点一、复数的加减运算 1、复数的加法、减法运算法则： 设，（），我们规定： 知识点诠释： （1）复数加法中的规定是实部与实部相加，虚部与虚部相加，减法同样．很明显， 两个复数的和（差）仍然是一个复数，复数的加（减）法可以推广到多个复数相加（减）的情形． （2）复数的加减法，可模仿多项式的加减法法则计算，不必死记公式． 2、复数的加法运算律： 交换律： 结合律： 知识点二、复数的加减运算的几何意义 1、复数的表示形式： 代数形式：（） 几何表示： ①坐标表示：在复平面内以点表示复数（）； ②向量表示：以原点为起点，点为终点的向量表示复数． 知识点诠释： 复数复平面内的点平面向量 知识点三、复数的乘除运算 1、乘法运算法则： 设，（），我们规定： 知识点诠释： （1）两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把换成，并且把实部与虚部分别合并．两个复数的积仍然是一个复数． （2）在进行复数除法运算时，通常先把除式写成分式的形式，再把分子与分母都乘以分母的共轭复数（分母实数化），化简后写成代数形式． 2、乘法运算律： （1）交换律： （2）结合律： （3）分配律： 1、复数加、减法的几何意义： 如果复数、分别对应于向量、，那么以、为两边作平行四边形，对角线表示的向量就是的和所对应的向量．对角线表示的向量就是两个复数的差所对应的向量． 设复数，，在复平面上所对应的向量为、，即、的坐标形式为，以、为邻边作平行四边形，则对角线对应的向量是， 由于，所以和的和就是与复数对应的向量． 知识点诠释： 要会运用复数运算的几何意义去解题，利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理 考点剖析 考点一：复数代数形式的加、减运算 例1．（2024·全国·高一随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 例2．（2024·全国·高一随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 例3．（2024·全国·高一随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 变式1．（2024·安徽蚌埠·高二校考阶段练习）已知，，为实数，若，求 变式2．（2024·高一课时练习）复数满足，求. 考点二：复数加减法的几何意义 例4．（2024·高一课时练习）复平面上有A、B、C三点，点对应的复数为，对应的复数为，对应的复数为，则点的坐标为 ． 例5．（2024·高一课时练习）在平行四边形ABCD中，若点A，C分别对应于复数，，则A，C两点间的距离为 ． 例6．（2024·上海宝山·高一上海交大附中校考）已知复数，满足，，，则在复平面所对应的点组成的图形的面积为 ． 变式3．（2024·湖南衡阳·高二衡阳市田家炳实验中学校考）已知，则 的最小值是 ． 变式4．（2024·山东日照·高一校联考期末）若复数，（其中为虚数单位）所对应的向量分别为与，则的周长为 . 变式5．（2024·高二课时练习）复平面上，，对应的点分别为，，已知，且，是坐标原点，则在复平面内是 （锐角三角形、直角三角形、钝角三角形）. 考点三：复数模的综合问题 例7．（2024·新疆伊犁·高一校联考期末）设是虚数单位，若复数满足，则 ． 例8．（2024·河北唐山·高一统考期末）若复数，，则 . 例9．（2024·广东佛山·高一统考期末）设复数、，满足，，则 ． 变式6．（2024·上海杨浦·高一校考期末）若复数和复数满足，，，则 . 变式7．（2024·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考）已知复数满足，则 . 变式8．（2024·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考阶段练习）设复数、满足，，，则 ． 考点四：复数代数形式的乘法运算 例10．（2024·上海青浦·高三校考）已知为虚数单位，若复数满足，则 . 例11．（2024·湖南湘西·高一统考期末） .（为虚数单位） 例12．（2024·重庆沙坪坝·高一重庆南开中学校考期末）设复数满足，则的实部为 ． 变式9．（2024·湖北·高一校联考）若复数z的虚部小于0，且，则 ． 考点五：复数代数形式的除法运算 例13．（2024·天津·高三天津市咸水沽第一中学校考）已知为实数，若复数为纯虚数，则的值为 . 例14．（2024·陕西榆林·高一校考）已知复