专题05 复数的概念（五大考点）-【寒假自学课】2024年高一数学寒假提升学与练（人教A版2019）

专题05 复数的概念 思维导图 核心考点聚焦 考点一：复数的基本概念 考点二：复数相等 考点三：复数的几何意义 考点四：复数的模 考点五：复数的轨迹与最值问题 知识点一：复数的基本概念 1、虚数单位 数叫做虚数单位，它的平方等于，即． 知识点诠释： ①是－1的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是； ②可与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立． 2、复数的概念 形如（）的数叫复数，记作：（）； 其中：叫复数的实部，叫复数的虚部，是虚数单位．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示． 知识点诠释： 复数定义中，容易忽视，但却是列方程求复数的重要依据． 3、复数的分类 对于复数（） 若b=0，则a+bi为实数，若b≠0，则a+bi为虚数，若a=0且b≠0，则a+bi为纯虚数． 分类如下： （） 用集合表示如下图： 4、复数集与其它数集之间的关系 （其中为自然数集，为整数集，为有理数集，为实数集，为复数集．） 5、共轭复数： 当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数． 通常记复数的共轭复数为． 知识点二：复数相等的充要条件 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．即： 如果，那么 特别地：． 知识点诠释： （1）一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样． 根据复数a+bi与c+di相等的定义，可知在a=c，b=d两式中，只要有一个不成立，那么就有a+bi≠c+di（a，b，c，d∈R）． （2）一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小．如果两个复数都是实数，就可以比较大小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小． 一、复数的几何意义 1、复平面、实轴、虚轴： 如图所示，复数（）可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴． 知识点诠释： 实轴上的点都表示实数．除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 2、复数集与复平面内点的对应关系 按照复数的几何表示法，每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应． 复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即 复数复平面内的点 这是复数的一种几何意义． 3、复数集与复平面中的向量的对应关系 在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的，所以，我们还可以用向量来表示复数． 设复平面内的点表示复数（），向量由点唯一确定；反过来，点也可以由向量唯一确定． 复数集C和复平面内的向量所成的集合是一一对应的，即 复数平面向量 这是复数的另一种几何意义． 4、复数的模 设（），则向量的长度叫做复数的模，记作． 即． 知识点诠释： ①两个复数不全是实数时不能比较大小，但它们的模可以比较大小． ②复平面内，表示两个共轭复数的点关于x轴对称，并且他们的模相等． 考点剖析 考点一：复数的基本概念 例1．（2024·全国·高一课堂例题）当为何实数时，复数分别是： (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数： (4)0？ 例2．（2024·河北邢台·高一统考）复数，则（    ） A．的实部为 B．的虚部为 C．的实部为 D．的虚部为 例3．（2024·云南·高二校联考）已知，，若，则z的虚部是（    ） A．-2 B．1 C．-2i D．2i 变式1．（2024·浙江绍兴·高一绍兴市稽山中学校考）设，则复数的虚部为（    ） A． B．2 C． D． 变式2．（2024·江苏徐州·高一统考）已知为虚数单位，则（    ） A． B． C．1 D． 变式3．（2024·浙江·高一）已知i为虚数单位，复数，则z的共轭复数为（    ） A． B． C． D． 考点二：复数相等 例4．（2024·河南商丘·高一校考阶段练习）已知x、，若，则 ． 例5．（2024·上海奉贤·统考一模）已知，，则a＝ ； 例6．（2024·新疆喀什·高一校考）已知，则 变式4．（2024·西藏拉萨·高一统考期末）已知，i为虚数单位，且，则 . 考点三：复数的几何意义 例7．（2024·新疆哈密·高一校考期末）四边形ABCD是复平面内的平行四边形，三点对应的复数分别是，，，则点D对应的复数为 ． 例8．（2024·福建宁德·高一统考）已知复数，则在复平面内复数z对应的点在第 象限． 例9．（2024·高一单元测试）若复数所对应的点在第二象限，则的取值范围为 . 变式5．（2024·高一单元测试）若复数在复平面内对应的点位于虚轴上