椭圆 专练-2024届高三数学一轮复习

椭圆 一、知识梳理 1.椭圆的定义 (1)平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距. (2)其数学表达式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数： ①若a＞c，则集合P为椭圆； ②若a＝c，则集合P为线段； ③若a＜c，则集合P为空集. 2.椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1 (a>b>0) 图形 性质 范围 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0) 轴 长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b 焦距 |F1F2|＝2c 离心率 e＝∈(0，1) a，b，c的关系 c2＝a2－b2 二、常用结论 1.若点P在椭圆上，F为椭圆的一个焦点，则 (1)b≤|OP|≤a； (2)a－c≤|PF|≤a＋c. 2.焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形，r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S. (1)当r1＝r2，即点P的位置为短轴端点时，θ最大； (2)S＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc. 3.焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝. 4.若AB为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则直线AB的斜率kAB＝－. 三、典例训练 一、单选题 1．（2023·河南开封·统考三模）已知点是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为、，且，则的面积为（    ） A．6 B．12 C． D． 2．（2021上·河南驻马店·高三统考期末）已知椭圆的一个焦点为，点是椭圆上的一个动点，的最小值为，且存在点，使得（点为坐标原点）为正三角形，则椭圆的焦距为（   ） A． B． C． D． 3．（2023·陕西西安·校联考一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，M为C上一点，若的中点为，且的周长为，则C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 4．（2023·甘肃定西·统考模拟预测）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，A是C上一点，，则的最大值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．11 5．（2023·广东汕头·统考一模）已知点是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为、，且，则的面积为（    ） A．6 B．12 C． D． 6．（2023·安徽·芜湖一中校联考模拟预测）已知分别为椭圆的左右焦点，点P为椭圆上一点，以为圆心的圆与直线恰好相切于点P，则是（    ） A． B． C． D． 7．（2023·四川南充·统考一模）已知直线与椭圆恒有公共点，则实数m的取值范围（    ） A． B． C． D． 8．（2021·江西吉安·校联考模拟预测）已知椭圆：的左､右焦点分别为､，是椭圆的上顶点，直线与直线交于点，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 9．（2021下·全国·高三校联考阶段练习）已知椭圆：的离心率为，则椭圆的长轴长为（    ） A． B．4 C． D．8 10．（2023·全国·统考高考真题）设椭圆的离心率分别为．若，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 11．（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）已知是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点，则下列结论正确的是（    ） A．椭圆的短轴长为 B．的坐标为 C．椭圆的离心率为 D．存在点P，使得 12．（2023·湖北武汉·统考一模）若椭圆的某两个顶点间的距离为4，则m的可能取值有（    ） A． B． C． D．2 13．（2023·广东汕头·统考二模）已知曲线，，则下列结论正确的是（    ） A．曲线C可能是圆，也可能是直线 B．曲线C可能是焦点在轴上的椭圆 C．当曲线C表示椭圆时，则越大，椭圆越圆 D．当曲线C表示双曲线时，它的离心率有最小值，且最小值为 三、填空题 14．（2022·高二课时练习）已知椭圆：的焦点为，．过且倾斜角为60°的直线交椭圆的上半部分于点，以，（为坐标原点）为邻边作平行四边形，点恰好也在椭圆上，则 ． 15．（2023·海南省直辖县级单位·嘉积中学校考三模）已知椭圆：，为椭圆的左焦点，为椭圆的