7.1.1 数系的扩充和复数的概念(教学设计)-【上好课】高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第二册）

教学设计 第七章 复数 我们知道，对于实系数一元二次方程，当时没有实数根．因此，在研究代数方程的过程中， 如果限于实数集，有些问题就无法解决．事实上，数学家在研究解方程问题时早就遇到了负实数的开平方问题，但他们一直在回避．到16世纪，数学家在研究实系数一元三次方程的求根公式时，再也无法回避这个问题了，于是开始尝试解决．在解决这个问题的过程中，数学家们遇到了许多困扰，例如负实数到底能不能开平方？如何开平方？负实数开平方的意义是什么？等等． 本章我们将体会数学家排除这些困扰的思想，通过解方程等具体问题，感受引入复数的必要性，了解从实数系到复数系的扩充过程和方法，研究复数的表示、运算及其几何意义，体会 “数”与 “形”的融合，感受人类理性思维在数系扩充中的作用． 7.1 复数的概念 在解决求判别式小于0的实系数一元二次方程根的问题时，一个自然的想法是，能否像引进无理数而把有理数集扩充到实数集那样，通过引进新的数而使实数集得到扩充，从而使方程变得可解呢？复数概念的引入与这种想法直接相关． 7.1.1 数系的扩充和复数的概念 一、教学目标 1.了解数系的扩充过程； 2.理解复数的概念、表示法； 3.掌握复数的分类及复数相等的充要条件. 二、教学重难点 1.教学重点：复数的概念理解； 2.教学难点：复数相等的理解和虚数、纯虚数的判断. 三、教学过程 1、创设情境，课题引入 从方程的角度看，负实数能不能开平方，就是方程有没有解，进而可以归结为方程有没有解． 教师：想一想，这是为什么？ 探究 我们知道，方程在实数集中无解，联系从自然数集到实数集的扩充过程，你能给出一种方法，适当扩充实数集，使这个方程有解吗？ 回顾已有的数集扩充过程，可以看到，每一次扩充都与实际需求密切相关． 例如，为了解决正方形对角线的度量， 以及这样的方程在有理数集中无解的问题，人们把有理数集扩充到了实数集． 数集扩充后，在实数集中规定的加法运算、乘法运算，与原来在有理数集中规定的加法运算、乘法运算协调一致，并且加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律． 设计意图：引导学生得出数系扩充的历史，以及数系扩充的规则. 数系的扩充史： 依照数集扩充的这种思想，为了解决这样的方程在实数系中无解的问题，我们设想引入一个新数，使得是方程的解，即使得. 课外补充 是数学家欧拉最早引入的，它取自imaginary(想象的，假设的)一词的词头，. 设计意图：让学生更好的理解数集扩充的艰难历史. 2、获取新知，概念生成 思考 把新引进的数添加到实数集中，我们希望和实数之间仍然能像实数那样进行加法和乘法运算，并希望加法和乘法都满足交换律、结合律，以及乘法对加法满足分配律，那么，实数系经过扩充，得到的新数系由哪些数组成呢？ 依照以上设想： ①把实数与相乘，结果记作 ②把实数与相加，结果记作 注意：所有实数以及都可写成 的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中. 复数的概念：我们把形如的数叫做复数，其中叫做虚数单位. 全体复数所构成的集合叫做复数集. 复数的代数形式：复数通常用字母表示，即， 以后不作特殊说明时，复数中都有， 其中把实数叫做复数的实部，把实数叫做复数的虚部. 练习1 说出下列复数的实部和虚部： 解：的实部为，虚部为 的实部为，虚部为 的实部为，虚部为 的实部为，虚部为 的实部为，虚部为 的实部为，虚部为 注意：设复数时，一定要有，否则不能说实部为，虚部为.虚部是复数代数形式中的实数系数，不含，不能说虚部为. 设计意图：通过例题更好的理解复数的概念. 复数相等：在复数集中任取两个数，我们规定： 练习2 求满足下列条件的实数的值. 思考 由能否推出？两个实数能比较大小，那么两个复数能比较大小吗？ 答：由不能推出， 当两个复数都是实数时，可以比较大小，当两个复数不全是实数时，不能比较大小. 注意：复数不能比较大小，若两个复数可以比较大小，则这两个复数必定都是实数. 设计意图：通过例题更好的理解复数相等概念. 练习3 复数，求实数的值. 复数的分类：对于复数，当且仅当时，它是实数；当且仅当时，它是实数；当时，它叫做虚数； 当且时，