7.1.1 数系的扩充和复数的概念(教学课件)-【上好课】高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第二册）

人教A版数学 必修二 第七章 复数 1 我们知道，对于实系数一元二次方程，当时没有实数根．因此，在研究代数方程的过程中， 如果限于实数集，有些问题就无法解决．事实上，数学家在研究解方程问题时早就遇到了负实数的开平方问题，但他们一直在回避．到16世纪，数学家在研究实系数一元三次方程的求根公式时，再也无法回避这个问题了，于是开始尝试解决．在解决这个问题的过程中，数学家们遇到了许多困扰，例如负实数到底能不能开平方？如何开平方？负实数开平方的意义是什么？等等． 本章我们将体会数学家排除这些困扰的思想，通过解方程等具体问题，感受引入复数的必要性，了解从实数系到复数系的扩充过程和方法，研究复数的表示、运算及其几何意义，体会 “数”与 “形”的融合，感受人类理性思维在数系扩充中的作用． 人教A版数学 必修二 7.1 复数的概念 3 在解决求判别式小于０的实系数一元二次方程根的问题时，一个自然的想法是，能否像引进无理数而把有理数集扩充到实数集那样，通过引进新的数而使实数集得到扩充，从而使方程变得可解呢？复数概念的引入与这种想法直接相关． 人教A版数学 必修二 7.1.1 数系的扩充和复数的概念 5 从方程的角度看，负实数能不能开平方，就是方程有没有解，进而可以归结为方程有没有解． 想一想，这是为什么？ 探究 我们知道，方程在实数集中无解，联系从自然数集到实数集的扩充过程，你能给出一种方法，适当扩充实数集，使这个方程有解吗？ 回顾已有的数集扩充过程，可以看到，每一次扩充都与实际需求密切相关． 例如，为了解决正方形对角线的度量， 以及这样的方程在有理数集中无解的问题，人们把有理数集扩充到了实数集． 数集扩充后，在实数集中规定的加法运算、乘法运算，与原来在有理数集中规定的加法运算、乘法运算协调一致，并且加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律． 是数学家欧拉（Leonhard Euler.1707-1783）最早引入的，它取自imaginary(想象的，假设的)一词的词头， 依照数系扩充思想，为了解决这样的方程在实数系中无解的问题， 我们设想引入一个新数，使得是方程的解，即使得． 8 思考 把新引进的数i添加到实数集中，我们希望i和实数之间仍然能像实数那样进行加法和乘法运算，并希望加法和乘法都满足交换律、结合律，以及乘法对加法满足分配律，那么，实数系经过扩充，得到的新数系由哪些数组成呢？ ①把实数与相乘，结果记作 ②把实数与相加，结果记作 注意 所有实数以及都可写成的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中. 依照以上设想： 复数的概念 我们把形如的数叫做复数，其中叫做虚数单位. 全体复数所构成的集合C 叫做复数集. 复数的代数形式 复数通常用字母表示，即， 以后不作特殊说明时，复数中都有， 其中把实数叫做复数的实部，把实数b叫做复数的虚部. 练习1 说出下列复数的实部和虚部： 设复数时，一定要有，否则不能说实部为，虚部为.虚部是复数代数形式中的实数系数，不含，不能说虚部为. 复数相等 在复数集C 中任取两个数， ，我们规定： 练习2 求满足下列条件的实数x，y的值. 注意：复数不能比较大小， 若两个复数可以比较大小，则这两个复数必定都是实数； 思考 由3>2能否推出3十i>2+i？两个实数能比较大小，那么两个复数能比较大小吗？ 由3>2不能推出3十i>2+i， 当两个复数都是实数时，可以比较大小， 当两个复数不全是实数时，不能比较大小. 复数的分类 对于复数，当且仅当时，它是实数； 当且仅当时，它是实数0；当时，它叫做虚数； 当且时，它叫做纯虚数. 练习3 指出下列各数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数. 为什么？ 虚数 纯虚数 实数 复数集 虚数集 纯虚数集 实数集 思考 复数集C与实数集R之间有什么关系？ 显然，实数集R是复数集C的真子集，即R C. 这样，复数可以分类如下： 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可用韦恩图表示(如右图所示). 复数 实数() 虚数() 纯虚数 (, ) 非纯虚数 (, ) 例1 当实数m取什么值时，复数 z=m+1+(m-1)i 是下列数？ （1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数. 课堂小结 1.虚数单位i的引入； 2.复数有关概念： 复数的代数形式: 复数的实部 、虚部 复数相等 虚数、纯虚数 谢谢大家 17 $$