专题67 成对数据的统计分析-2024年新高考数学一轮复习讲义之题型归类与强化测试

专题67 成对数据的统计分析 知识梳理 考纲要求 考点预测 常用结论 方法技巧 题型归类 题型一：相关关系与散点图 题型二：回归方程与最小二乘法 题型三：相关系数 题型四：误差分析 题型五：非线性回归 题型六：列联表与等高条形图 题型七：独立性检验 培优训练 训练一： 训练二： 训练三： 训练四： 训练五： 训练六： 强化测试 单选题：共8题 多选题：共4题 填空题：共4题 解答题：共6题 一、【知识梳理】 【考纲要求】 1.了解样本相关系数的统计含义. 2.了解一元线性回归模型和2×2列联表，会运用这些方法解决简单的实际问题. 3.会利用统计软件进行数据分析. 【考点预测】 1.变量的相关关系 (1)相关关系 两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系. (2)相关关系的分类：正相关和负相关. (3)线性相关 一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们就称这两个变量线性相关. 一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关. 2.样本相关系数 (1)相关系数r的计算 变量x和变量y的样本相关系数r的计算公式如下： (2)相关系数r的性质 ①当r>0时，称成对样本数据正相关；当r<0时，成对样本数据负相关；当r＝0时，成对样本数据间没有线性相关关系. ②样本相关系数r的取值范围为[－1，1]. 当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强； 当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱. 3.一元线性回归模型 (1)经验回归方程与最小二乘法 我们将＝x＋称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线.这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的，叫做b，a的最小二乘估计， 其中 (2)利用决定系数R2刻画回归效果 ，R2越大，即拟合效果越好，R2越小，模型拟合效果越差. 4.列联表与独立性检验 (1)2×2列联表 一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列联表为 x y 合计 y＝y1 y＝y2 x＝x1 a b a＋b x＝x2 c d c＋d 合计 a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d (2)临界值 χ2＝.忽略χ2的实际分布与该近似分布的误差后，对于任何小概率值α，可以找到相应的正实数xα，使得P(χ2≥xα)＝α成立.我们称xα为α的临界值，这个临界值就可作为判断χ2大小的标准. (3)独立性检验 基于小概率值α的检验规则是： 当χ2≥xα时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α； 当χ2＜xα时，我们没有充分证据推断H0不成立 ，可以认为X和Y独立. 这种利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验. 下表给出了χ2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值 α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【常用结论】 1.求解经验回归方程的关键是确定回归系数，，应充分利用回归直线过样本点的中心(，). 2.根据经验回归方程计算的值，仅是一个预报值，不是真实发生的值. 3.根据χ2的值可以判断两个分类变量有关的可信程度，若χ2越大，则两分类变量有关的把握越大. 【方法技巧】 1.判断相关关系的两种方法： (1)散点图法：如果样本点的分布从整体上看大致在某一曲线附近，变量之间就有相关关系；如果样本点的分布从整体上看大致在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系. (2)决定系数法：利用决定系数判定，R2越趋近1，拟合效果越好，相关性越强. 2. 经验回归方程 (1)求经验回归方程：利用公式＝求；利用＝－求，写出经验回归方程. (2)经验回归方程的拟合效果，可以利用相关系数|r|判断，当|r|越趋近于1时，两变量的线性相关性越强.或利用决定系数R2判断，R2越大，拟合效果越好. (3)非线性经验回归方程转化为线性经验回归方程的方法 ①若＝＋ ，设t＝，则＝＋t；②若满足对数式：＝＋ln x，设t＝ln x，则＝＋t；③若满足指数式：y＝c1ec2x，两边取对数解ln y＝ln c1＋c2x，设z＝ln y，a＝ln c1，b＝c2，则z＝a＋bx. 3.在2×2列联表中，如果两个变量没有关系，则应满足ad－bc≈0.|ad－bc