数学探究阿波罗尼斯圆及其应用 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

阿波罗尼斯圆及其应用 学科：数学 单位：西安市第二十五中学 姓名：刘倩 1 复习回顾 1. 圆的定义： 圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合. 2. 圆的基本要素是圆心和半径. 3. 圆的标准方程：圆心为 <m></m> ，半径为 <m></m> 的圆的标准方程是 <m></m> . 阿波罗尼斯 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一． 新知探究 问题1：已知平面上两点 A、B，则所有满足 =k 且不等于1的点 P 的轨迹是什么？ 阿氏圆.gsp 新知探究 定义：阿波罗尼斯圆又称阿氏圆，已知平面上两点 A、B，则所有满足 =k 且不等于1的点 P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆。 基本要素： 两个定点 一个动点 一个定值 新知探究 问题2：如何确定阿氏圆的轨迹方程？ 解： 如图， ，为两定点，动点 满足 例1 若两定点A，B的距离为3，动点M满足|MA|＝2|MB|，则M点的轨迹围成区域的面积为(　　) A.π B.2π C.3π D.4π D 新知运用 方法小结 1. 在 中，若 ， ，则 的最大值为_______. 巩固训练 2.已知圆O：x2＋y2＝1，圆M：(x－a)2＋(y－2)2＝2.若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得PA⊥PB，则实数a的取值范围为(　　) 9 1. 在 中，若 ， ，则 的最大值为_______. <m></m> [解析] （法一：利用余弦定理和函数的最值问题处理） 设 <m></m> ，所以 <m></m> ，则 <m></m> ， 所以 <m></m> ， 故当 <m></m> 时， <m></m> 取得最大值，最大值为 <m></m> ． 巩固训练 10 （法二：利用阿波罗尼斯圆求解） 显然这是一例阿波罗尼斯圆，建立如图所示的平面直角坐标系，则 <m></m> ， <m></m> ， 因为 <m></m> ，得点 <m></m> 的轨迹是一个阿波罗尼斯圆，计算得点 <m></m> 的轨迹方程为 <m></m> ， 设圆心为 <m></m> ，显然当 <m></m> 轴时， <m></m> 的面积最大，此时 <m></m> ， 所以 <m></m> . 11 2.已知圆O：x2＋y2＝1，圆M：(x－a)2＋(y－2)2＝2.若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得PA⊥PB，则实数a的取值范围为(　　) D 课堂小结 1. 阿波罗尼斯圆的定义 2. 阿波罗尼斯圆的标准方程，如何利用两定点间的距离和比值 来确定圆心和半径 3. 利用阿波罗尼斯圆的几何特征解决相关问题 感谢聆听 14 [解析]　根据题意，动点M的轨迹是一个圆，以AB所在直线为x轴，过AB中点作垂直于AB的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则B( ，0). 则 ，则M点的轨迹围成区域的面积为4π. 本题设置原型即来源于“阿波罗尼斯圆”的定义：平面内到两个定点A，B的距离之比为正数λ(λ≠1)的点的轨迹是以 Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(λ2＋1,λ2－1)a，0))为圆心，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f( 2aλ,λ2－1)))为半径的圆(阿波罗尼斯圆).借助定义，可求出半径，进而确定面积。 A.[0，eq \r(2)] B.[－5eq \r(2)，1] C.[－eq \r(2)，eq \r(2)] D.[－2，2] A.[0，eq \r(2)] B.[－5eq \r(2)，1] C.[－eq \r(2)，eq \r(2)] D.[－2，2] [解析]　由题意可知四边形PAOB为正方形，|OP|＝eq \r(2)， ∴点P在以O为圆心，以eq \r(2)为半径的圆上，其方程为x2＋y2＝2， 若圆M上存在这样的点P，则圆M与x2＋y2＝2有公共点，则有eq \r(2)－eq \r(2)≤eq \r(a2＋4)≤eq \r(2)＋eq \r(2)，解得－2≤a≤2. $$