7.5 正态分布（导学案） -【上好课】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第三册）

7.5 正态分布 导学案 学习目标 1.利用实际问题的频率分布直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 2.了解变量落在区间[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]内的概率大小. 3.会用正态分布去解决实际问题． 重点难点 重点：正态分布的特征，概率的表示，正态分布的均值、方差及其含义. 难点：描述正态分布随机变量的概率分布. 课前预习 自主梳理 知识点一 正态曲线 正态曲线沿着横轴方向水平移动只能改变对称轴的位置，曲线的形状没有改变，所得的曲线依然是正态曲线 函数f(x)＝ ，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数． 显然对于任意x∈R，f(x)>0，它的图象在x轴的上方．可以证明x轴和曲线之间的区域的面积为1．我们称f(x)为 ，称它的图象为正态分布密度曲线，简称 ． 若随机变量X的概率密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X～ N(μ，σ2)，特别地，当μ＝0， 时，称随机变量X服从标准正态分布． 知识点二　正态曲线的特点 1．对∀x∈R，f(x)>0，它的图象在x轴的 ． 2．曲线与x轴之间的面积为 . 3．曲线是单峰的，它关于直线 对称． 4．曲线在 处达到峰值. 5．当|x|无限增大时，曲线无限接近 轴． 6．当 一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①. 7．当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ较小时曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；σ较大时，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图②. 知识点三　正态总体在三个特殊区间内取值的概率值及3σ原则 P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈ ； P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈ ； P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈ . 尽管正态变量的取值范围是(－∞，＋∞)，但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间[μ－3σ，μ＋3σ]内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.002 7，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生． 在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则． 自主检测 1.判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1) 正态曲线中参数μ，σ的意义分别是样本的均值与方差．(　 　) (2) 正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是随参数μ，σ的变化而变化的．(　 　) (3) 正态曲线可以关于y轴对称．(　 　) (4) 若X～N(μ，σ2)，则P(X<μ)＝.(　 　) (5) 正态曲线是一条钟形曲线.(　　) (6) 正态曲线在x轴的上方,并且关于直线x=σ对称.(　　) 2.已知随机变量，则（    ）(附：若，则，) A．0.02275 B．0.1588 C．0.15865 D．0.34135 3.为准备2022年北京冬季奥运会，某冰上项目组织计划招收-批青少年参加集训，以选拔运动员，最终共有20000名青少年报名参加测试，其测试成绩（满分100分）服从正态分布，成绩在90分以上者可以进入集训队．若80分以上的人数为460，则可推断进入集训队的人数为（ ） A．18 B．22 C．26 D．30 4.设随机变量，且，则 . 5.某科研院校培育大枣新品种，新培育的大枣单果质量近似服从正态分布（单位：），现有该新品种大枣个，估计单果质量在范围内的大枣个数约为（    ）附：若，则，，. A． B． C． D． 新课导学 学习探究 环节一 创设情境，引入课题 现实中，除了前面已经研究过的离散型随机变量外，还有大量问题中的随机变量不是离散型的，它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴，但取一点的概率为0，我们称这类随机变量为连续型随机变量（continuous random variable）．下面我们看一个具体问题． 问题 自动流水线包装的食盐，每袋标准质量为400 g．由于各种不可控制的因素，任意抽取一袋食盐，它的质量与标准质量之间或多或少会存在一定的误差（实际质量减去标准质量）．用X表示这种误差，则X是一个连续型随机变量，检测人员在一次产品检验中，随机抽取了100袋食盐，获得误差X（单位：g）的观测值如下： -0.6 -1.4 -0.7 3.3 -2.9 -5.2 1.4 0.1 4.4 0.9 -2.6 -3.4 -0.7 -3.2 -1.7 2.9 0.6 1.7 2.9 1.2 0.5