第02讲二项式定理讲义-2024届高三数学一轮复习

努力成就梦想 方法创造奇迹 第02讲　二项式定理 【必备知识】 1．二项式定理 二项式定理：(a＋b)n＝Canb0＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N*) 二项展开式的通项公式：Tr＋1＝Can－rbr，它表示第r＋1项 2． 二项式系数的性质 （1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C＝C （2）增减性：二项式系数C，当k<(n∈N*)时，是递增的，当k>(n∈N*)时，是递减的 （3）最大值：当n为偶数时，中间的一项取得最大值当n为奇数时，中间的两项和取得最大值； （4）各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝2n 特别提醒：1．二项式定理中，通项公式Tk＋1＝Can－kbk是展开式的第k＋1项，不是第k项． 2．(1)二项式系数与展开式中项的系数是两个不同的概念，在Tk＋1＝Can－kbk中，C是该项的二项式系数，该项的系数还与a，b有关． (2)二项式系数的最值和增减性与指数n的奇偶性有关．当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值． 考点05二项展开式中的项 【常用方法】 求二项展开式中的特定项或其系数，一般是写出通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出r，代回通项公式即可． 【典例分析05】 角度01　求二项展开式中的特定项或特定项的系数 1、的展开式中常数项是____(用数字作答)． 2、(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为(　 　) A．12 B．16 C．20 D．24 3、(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为(　　) A．10 B．20 C．30 D．60 角度02　二项展开式中的含参问题 4、若的展开式中的常数项为－，则实数a的值为__ __. 5、的展开式中x3的系数为－80，则a＝__ __. 6、已知二项式的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2∶5，则x3的系数为__ __. 考点06　二项展开式中的系数和问题 【常用方法】 赋值法的应用 (1)形如(ax＋b)n、(ax2＋bx＋c)m(a、b、c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可． (2)对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可． (3)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)， 奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝， 偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝. *又f′(x)＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋nanxn－1， 所以a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝f′(1)． 【典例分析06】 1、在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为64，则x3的系数为(　 　) A．15 B．45 C．135 D．405 2、若(1－2x)2 021＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a2 021x2 021(x∈R)，则下列结论中正确的个数为(　　) ①a0＝1 ②a1＋a3＋a5＋…＋a2 021＝ ③a0＋a2＋a4＋…＋a2 020＝ ④＋＋＋…＋＝－1 A．1 B．2 C．3 D．4 考点07　二项展开式中的系数最值问题 【常用方法】　二项式系数最大项的确定方法：当n为偶数时，展开式中第＋1项的二项式系数最大，最大值为；当n为奇数时，展开式中第项和第项的二项式系数最大，最大值为或．　 【典例分析07】 1、在(1－2x)n的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式二项式系数最大的项为________． 2、已知的展开式中前三项的系数成等差数列． ①求n的值； ②求展开式中系数最大的项． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$