第01讲两个计数原理、排列与组合讲义-2024届高三数学一轮复习

努力成就梦想 方法创造奇迹 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第01讲　两个计数原理、排列与组合 【必备知识】 1．两个计数原理 分类加法计数原理 完成一件事有n类不同的方案，在第一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中有mn种不同的方法，则完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法． 分步乘法计数原理 完成一件事需要分成n个不同的步骤，完成第一步有m1种不同的方法，完成第二步有m2种不同的方法，……，完成第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1·m2·…·mn_种不同的方法． 分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别 分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互联系、相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事． 特别提醒：分类的关键在于要做到“不重不漏”；分步的关键在于要正确设计分步的程序，即合理分类，准确分步．在分类与分步之前要确定题目中是否有特殊条件限制． 2、排列与排列数 (1)排列的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． (2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示． (3)排列数公式：A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(m，n∈N*，且m≤n) (4)全排列：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，A＝n×(n－1)×(n－2)×…×2×1＝n！.排列数公式写成阶乘的形式为A＝，这里规定0！＝1. 3、组合与组合数 (1)组合的定义：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． (2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示． (3)组合数的计算公式：C＝＝＝，这里规定C＝1. (4)组合数的性质：①C＝C；②C＝C＋C. 特别提醒：应用公式化简、求值、解方程、解不等式时，注意A、C中的隐含条件m≤n，且m，n∈N*. 考点01　两个计数原理的综合应用 【常用方法】 利用两个基本计数原理解决问题的步骤 第一步，审清题意，弄清要完成的事件是怎样的； 第二步，分析完成这件事应采用分类、分步、先分类后分步、先分步后分类这四种方法中的哪一种； 第三步，弄清在每一类或每一步中的方法种数； 第四步，根据两个基本计数原理计算出完成这件事的方法种数． 特别提醒：　(1)应用两个计数原理的难点在于明确是分类还是分步． (2)分类要做到“不重不漏”，正确把握分类标准是关键． (3)分步要做到“步骤完整”，步步相连才能将事件完成． (4)较复杂的问题可借助图表来完成． 【典例分析01】 1、在由数字0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中，能被5整除的个数有(　 　) A．512 B．192 C．240 D．108 2、将3张不同的电影票分给10名同学中的3人，每人1张，则不同的分法种数是(　　) A．2 160 B．720 C．240 D．120 3、用0到9这10个数字，组成没有重复数字且能被5整除的三位数的个数为________． 1 3 4 2 5 4、如图，现有4种不同颜色给图中5个区域涂色，要求任意两个 相邻区域不同色，共有________种不同涂色的方法；若要求4种颜色 都用上且任意两个相邻区域不同色，共有________种不同涂色方法． 考点02　排列问题 【常用方法】1、求解排列应用问题的6种主要方法 直接法 把符合条件的排列数直接列式计算 优先法 优先安排特殊元素或特殊位置 捆绑法 把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列 插空法 对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中 定序问题除法处理 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列 间接法 正难则反、等价转化的方法 2．解决有限制条件排列问题的策略 (1)根据特殊元素(位置)优先安排进行分步，即先安排特殊元素或特殊位置． (2)根据特殊元素当选数量或特殊位置由谁来占进行分类． 【典例分析02】 1、有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数． (1)选5人排成一排； (2)排成前后两排，前排3人，后排4人； (3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾； (4)全体排成一排，