7.4.2超几何分布 （教学设计）-【上好课】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第三册）

7.4.2超几何分布 教学设计 1、 课时教学内容 本节的主要内容是超几何分布，是对前面所学知识的 综合应用.超几何分布主要用于不放回简单随机抽样中概 率的计算，其中对抽取的每个个体只考虑是否具有某种特 征.教材通过在具体情境中比较放回和不放回简单随机抽 样，归纳出超几何分布模型的特征，由特殊到一般地求得 超几何分布的分布列.体现了从实际出发，通过抽象思维， 建立数学模型，进而认知数学理论，应用于实际的过程. 2、 课时教学目标 1. 理解超几何分布概念, 能够判定随机变量是否服从超几何分布; 2. 会应用超几何分布列的概率公式计算求解随机事件的概率; 3. 能够利用随机变量服从超几何分布的知识解决实际问题, 会求服从超几何分布的随机变量的均值. 3、 教学重点、难点 1.重点：超几何分布的概率求法及应用 2.难点：区分超几何分布与二项分布 4、 教学过程设计 环节一 创设情境，引入课题 前面我们学习了排列组合、离散型随机变量的有关知识，本节课将利用这些知识继续研究第二个重要的概率模型----超几何分布。 问题 已知100件产品中有8件次品，分别采用有放回和不放回的方式随机抽取4件．设抽取的4件产品中次品数为X，求随机变量X的分布列． （1）采用有放回抽样，随机变量X服从二项分布吗？ 我们知道，如果采用有放回抽样，则每次抽到次品的概率为0.08，且各次抽样的结果相互独立，此时X服从二项分布，即． （2）如果采用不放回抽样，请问抽取的4件产品中次品数X还服从二项分布吗？若不服从，那么X的分布列是什么？ 采用不放回抽样，虽然每次抽到次品的概率都是0.08，但每次抽取不是同一个试验，而且各次抽取的结果也不独立，不符合n重伯努利试验的特征，因此X不服从二项分布． 学生回答：不服从，需要根据古典概型来求X的分布列。 环节二 观察分析，感知概念 可以根据古典概型求X的分布列．由题意可知，X可能的取值为0，1，2，3，4．从100件产品中任取4件，样本空间包含个样本点，且每个样本点都是等可能发生的．其中4件产品中恰有k件次品的结果数为．由古典概型的知识，得X的分布列为 ． 计算的具体结果（精确到0.00001）如表7.4-1所示． 表7.4-1 X 0 1 2 3 4 P 0.71257 0.25621 0.02989 0.00131 0.00002 （3）观察上述分布列中的概率求解方法，与二项分布的有什么不同？从中得出什么规律？ 【设计意图】通过具体的问题情境，引发学生积极思考，也就是利用已学知识来观察这个问题，通过参与互动，说出自己见解。从而引出超几何分布的概念，发展学生逻辑推理、数学运算、数学抽象和数学建模的核心素养。 环节三 抽象概括，形成概念 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为 ． 其中，，，，． 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布（hypergeometric distribution）． （4）剖析超几何分布的概念： 1.公式 中个字母的含义 N—总体中的个体总数；M—总体中的特殊个体总数(如次品总数) n—样本容量；k—样本中的特殊个体数(如次品数) 2.上述概率分布列计算公式是直接利用组合数的意义列式计算的，所以不要机械记忆这个概率分布列。 3. “任取n件，恰有k件次品”是可以理解为一次性抽取，也可以理解为逐个不放回抽取。 例4 从50名学生中随机选出5名学生代表，求甲被选中的概率． 解：设X表示选出的5名学生中含甲的人数(只能取0或1)，则X服从超几何分布，且，，． 因此甲被选中的概率为 ． 容易发现，每个人被抽到的概率都是，这个结论非常直观，这里给出了严格的推导． 例5 一批零件共有30个，其中有3个不合格．随机抽取10个零件进行检测，求至少有1件不合格的概率． 解：设抽取的10个零件中不合格品数为X，则X服从超几何分布，且，，．X的分布列为 ． 至少有 1 件不合格的概率为 ． 也可以按如下方法求解： ． 归纳总结：（1）当研究的事物涉及二维离散型随机变量(如：次品、两类颜色等问题）时的概率分布可视为一个超几何分布； （2）在超几何分布中，只要知道参数N，M，n就可以根据概率计算公式求出X取不同值时的概率。 【设计意图】通过两个例题，让学生更加充分的认识超几何分布的概率计算方法，提高他们的数学运算能力。也通过数学抽象和数学建模来达到问题归类，方法统一。 环节四 辨析理解 深化概念 探究：服从超几何分布的随机变量的均值是什么？ 设随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中，不放回地随机抽取n件产品中的次品数． 令，则是N件产品的次