7.4.1 二项分布 （教学课件）-【上好课】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第三册）

1 第7章《随机变量及其分布》 人教A版2019选择性必修第三册 7.4.1 二项分布 1.理解n重伯努利试验的概念. 2.掌握二项分布. 3.能利用n重伯努利试验及二项分布解决一些简单的实际问题． 学习目标 在实际问题中，有许多随机试验与掷硬币试验具有相同的特征，它们只包含两个可能结果．例如，检验一件产品结果为合格或不合格，飞碟射击时中靶或脱靶，医学检验结果为阳性或阴性等．我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验（Bernoulli trials）． 我们将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验．显然，n重伯努利试验具有如下共同特征： （1）同一个伯努利试验重复做n次； （2）各次试验的结果相互独立． “重复”意味着各次试验成功的概率相同． 环节一：创设情境，引入课题 思考 下面3个随机试验是否为n重伯努利试验？如果是，那么其中的伯努利试验是什么？对于每个试验，定义“成功”的事件为A，那么A的概率是多大？重复试验的次数是多少？ （1）抛掷一枚质地均匀的硬币10次． （2）某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续射击3次． （3）一批产品的次品率为5%，有放回地随机抽取20件． 在伯努利试验中，我们关注某个事件A是否发生，而在n重伯努利试验中，我们关注事件A发生的次数X．进一步地，因为X是一个离散型随机变量，所以我们实际关心的是它的概率分布列．例如，对产品抽样检验，随机抽取n件，我们关心样本中不合格品数的概率分布列． 环节二：观察分析，感知概念 探究 某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8．连续3次射击，中靶次数X的概率分布列是怎样的？ 环节三：抽象概括，形成概念 思考 如果连续射击4次，类比上面的分析，表示中靶次数X等于2的结果有哪些？写出中靶次数X的分布列． 3次射击恰好2次中靶的所有可能结果可表示为0011，0110，0101，1001，1010，1100．中靶次数X的分布列为 对比二项分布与二项式定理，你能看出它们之间的联系吗？ 分析：抛掷一枚质地均匀的硬币，出现“正面朝上”和“反面朝上”两种结果且可能性相等，这是一个10重伯努利试验．因此，正面朝上的次数服从二项分布． 环节四：辨析理解，深化概念 分析：抛掷一枚质地均匀的硬币，出现“正面朝上”和“反面朝上”两种结果且可能性相等，这是一个10重伯努利试验．因此，正面朝上的次数服从二项分布． 例2 图7.4-2是一块高尔顿板的示意图．在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．格子从左到右分别编号为0，1，2，…，10，用X表示小球最后落入格子的号码，求X的分布列． 分析：小球落入哪个格子取决于在下落过程中与各小木钉碰撞的结果．设试验为观察小球碰到小木钉后下落的方向，有“向左下落”和“向右下落”两种可能结果，且概率都是0.5．在下落的过程中，小球共碰撞小木钉10次，且每次碰撞后下落方向不受上一次下落方向的影响，因此这是一个10重伯努利试验．小球最后落入格子的号码等于向右落下的次数，因此X服从二项分布． X的概率分布图如图7.4-3所示． 例3 甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利？ 分析：判断哪个赛制对甲有利，就是看在哪个赛制中甲最终获胜的概率大．可以把“甲最终获胜”这个事件，按可能的比分情况表示为若干事件的和，再利用各局比赛结果的独立性逐个求概率；也可以假定赛完所有n局，把n局比赛看成n重伯努利试验，利用二项分布求“甲最终获胜”的概率． 解法1：采用3局2胜制，甲最终获胜有两种可能的比分2：0或2：1，前者是前两局甲连胜，后者是前两局甲、乙各胜一局且第3局甲胜．因为每局比赛的结果是独立的，甲最终获胜的概率为 类似地，采用5局3胜制，甲最终获胜有3种比分3：0，3：1或3：2．因为每局比赛的结果是独立的，所以甲最终获胜的概率为 环节五：课堂练习，巩固运用 例3 甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利？ 为什么假定赛满3局或5局，不影响甲最终获胜的概率？ 归纳 一般地，确定一个二项分布模型的步骤如下： （1）明确伯努利试验及事件A的意义，确定事件A发生的概率p； （2）确定重复试验的次数n，并判断各次试验的独立性； （3）设X为n次独立重复试验中事件A发生的次数，则X～B(n, p)． 对于一个离散型随机变量，除了关心它的概率分布列外，我们还关