利用法向量求二面角 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

　课题：利用法向量求二面角 上课教师：曹伟 上课班级：高二（9、11）C层次 由小屋的屋顶，你能想到学过的哪些几何知识？ 情境引入 房屋的屋顶抽象出来得到这样图形 α β l 四、教学过程的设计与实施 l A B O 2、如何作二面角α—l—β的平面角？ 温故知新 从一条直线出发的两个半平面所组成 的图形叫做 ，这条直线叫做 ， 这两个半平面叫做 . 二面角 二面角的棱 二面角的面 1、二面角的定义： 二面角的范围： [0，π] 探究新知 观察4个图得出什么结论？ θ θ θ θ D A C A1 B1 C1 D1 B G E F 判断：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是DD1的中点,二面角E-AC-D是钝角还是锐角？E-AC-B呢？ D A C A1 B1 E F 判断：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是DD1的中点,二面角E-AC-D是钝角还是锐角？E-AC-B呢？ 解： 则 设 是面SCD的一个法向量， 与平面 例:如图，ABCD是直角梯形， 所成锐二面角的余弦值。 求平面 建立如图所示的空间直角坐标系 则 启示： 求二面角的平面角可转化为求两法向量的夹角。 是平面SAB的一个法向量， 二面角为锐角， 所求锐二面角的余弦值为： 令z=1解之得 结论： 利用法向量求解二面角避免了繁难的作、证二面角的过程。解题的关键是确定相关平面的法向量，如果题目中平面的法向量不容易得到，那么必须先创设求出平面的一个法向量。 利用法向量求二面角的平面角的一般步骤： 建立适当的空间直角坐标系 找与问题相关点的坐标 求解平面的法向量 求两法向量夹角 定值 小结： 1.利用法向量求二面角的优势： 避免了繁难的作、证二面角的过程，将几何问题转化为数值计算。 2.利用法向量求二面角的关键： 确定相关平面的法向量。 3.利用法向量求二面角的缺点： 计算量相对比较大。 课后思考 巩固提升 如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥ 平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥ AD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE= . (1)求异面直线BF与DE所成的角的大小； (2)证明：平面AMD⊥平面CDE; (3)求锐二面角A—CD—E的余弦值. (1)解 ： 如图所示，建立空间直 角坐标系，点A为坐标原点，设 AB=1，依题意得B(1,0,0), C(1,1,0)，D(0,2,0),E(0,1,1),F(0,0,1)， 所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60°. (2)证明 又AM∩AD=A，故CE⊥平面AMD.而CE平面 CDE，所以平面AMD⊥平面CDE. (3)解 ：设平面CDE的法向量为u=（x,y,z)， 令x=1,可得u=(1,1,1). 又由题设，平面ACD的一个法向量v=(0,0,1). 因为二面角A—CD—E为锐角，所以其余弦值为 课后作业：第112页A组：6、8 谢谢 $$