专题21 抛物线的性质及与抛物线有关的距离最值问题（期末选择题21）2023-2024学年高二数学上学期期末题型秒杀技巧及专项练习（人教A版2019）

专题21 抛物线的性质及与抛物线有关的距离最值问题 （期末选择题21） （原卷版） 题型1 抛物线的性质 （1）利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程 (2)要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算 工具1;抛物线的及性质 图形 标准 方程 顶点 范围 ， ， ， ， 对称轴 轴 轴 焦点 离心率 准线方程 焦半径 工具2：点与抛物线的关系 （1）在抛物线内（含焦点）． （2）在抛物线上． （3）在抛物线外． 2.焦半径：抛物线上的点与焦点的距离称为焦半径，若，则焦半径，． 3.的几何意义：为焦点到准线的距离 4.焦点弦：①若为抛物线的焦点弦，，，则有以下结论： （1）． （2）． ②焦点弦长公式2：（为直线与对称轴的夹角）． 5.抛物线的弦 若AB为抛物线的任意一条弦，，弦的中点为，则 （1）弦长公式： （2） （3）直线AB的方程为 （4）线段AB的垂直平分线方程为 工具3:切线方程和切点弦方程 抛物线的切线方程为，为切点 切点弦方程为，点在抛物线外 与中点弦平行的直线为，此直线与抛物线相离，点（含焦点）是弦AB的中点，中点弦AB的斜率与这条直线的斜率相等，用点差法也可以得到同样的结果． 2.抛物线的通径 过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛物线的通径． 对于抛物线，由，，可得，故抛物线的通径长为． 3.弦的中点坐标与弦所在直线的斜率的关系： 4.焦点弦的常考性质 已知、是过抛物线焦点的弦，是的中点，是抛物线的准线，，为垂足． （1）以为直径的圆必与准线相切，以AF（或BF）为直径的圆与y轴相切； （2）， （3）； （4）设，为垂足，则、、三点在一条直线上 形如1：抛物线的焦点为，其准线与双曲线相交于，两点，若为等边三角形，则（    ） A．2 B． C．6 D． 破解：设抛物线的准线与y轴交于点D，如图，在等边三角形ABF中，，，所以点B的坐标为，又点B在双曲线上，故，解得． 故选：C． 形如2：已知抛物线的焦点为F，点A是抛物线C的准线与坐标轴的交点，点P在抛物线C上，若，则（    ）． A． B． C． D． 破解：过作准线的垂线，垂足为，由，可得，由题意如图所示： 在中，可得，， 由抛物线的性质可得，所以， 在中，由正弦定理可得：， 所以， 故选：D． 形如3：过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，为线段的中点，则（    ） A．以线段为直径的圆与直线相切 B．以线段为直径的圆与轴相切 C．当时， D．的最小值为6 破解：由抛物线方程知，准线方程为，由题意可知，直线的斜率存在，可设：，设，． 对于选项A，易知，∵为的中点， ∴点到准线的距离， ∴以线段为直径的圆与直线相切，A正确； 对于B，由，得， ，，， ∴，∴， 设的中点为，则，， ∵不恒成立，∴以线段为直径的圆与轴未必相切，B错误； 对于C，若，则，不妨设，，∵，∴，，则，，∴，C正确； 对于D，∵，∴当时，，D正确． 故选:ACD． 形如4：已知平面内到定点比它到定直线：的距离小1的动点的轨迹为曲线，则下列说法正确的是（    ） A．曲线的方程为 B．曲线关于轴对称 C．当点在曲线上时， D．当点在曲线上时，点到直线的距离 破解：由题意可知：动点到定点与它到定直线：的距离相等， 由抛物线定义，知曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，其方程为，所以A，B正确；由知，点到直线的距离，所以C，D错误． 故选：AB． 形如5：下列四个方程所表示的曲线中既关于轴对称，又关于轴对称的是（    ） A． B． C． D． 破解：对于A选项，对于曲线上的任意点，其关于轴对称的点满足方程，关于轴对称的点也满足方程，故满足条件； 对于B选项，即为，表示焦点在轴正半轴的抛物线，关于轴对称，但不关于轴对称，故不满足； 对于C选项，即为，表示焦点在轴上的椭圆，满足既关于轴对称，又关于轴对称，故满足条件； 对于D选项，即为，表示圆心为，半径为的圆，其关于轴对称，不关于轴对称，故不满足条件. 故选：AC 1．若抛物线的焦点到准线的距离为，过焦点的直线与抛物线交于，两点，且，则弦的中点到轴的距离为（    ） A． B． C． D． 2．若抛物线的焦点坐标为，过焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且，则弦AB的中点到y轴的距离为（    ） A． B．2 C．3 D．4 3．过抛物线焦点的直线l与抛物线交于A，B两点，线段的中点到y轴的距离为2，则（    ） A．4 B．6 C．3 D．8 4．已知过抛物线焦点的一条直线与抛物线相交于，两点，若，则线段的中点到轴的距离等于（