7.3.2离散型随机变量的方差 （教学课件）-【上好课】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第三册）

1 第7章《随机变量及其分布》 人教A版2019选择性必修第三册 7.3.2离散型随机变量的方差 1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念. 2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题. 3.掌握方差的性质以及两点分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差． 学习目标 1、离散型随机变量的数学期望 2、数学期望的性质 ··· ··· ··· ··· 数学期望是反映离散型随机变量的平均水平 3、如果随机变量X服从两点分布为 X 1 0 P p 1－p 则 3 环节一：创设情境，引入课题 知识回顾 4.离散型随机变量的均值： 一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示， X x1 x2 ‧‧‧ xn P p1 p2 ‧‧‧ pn 则称 为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望. 5.均值的性质： 6.随机变量X服从两点分布，则有 知识回顾 随机变量的均值是一个重要的数字特征，它反映了随机变量取值的平均水平或分布的“集中趋势”．因为随机变量的取值围绕其均值波动，而随机变量的均值无法反映波动幅度的大小．所以我们还需要寻找反映随机变量取值波动大小的数字特征． 问题2 从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛．根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如表7.3-6和表7.3-7所示． 表7.3-6 表7.3-7 X 6 7 8 9 10 Y 6 7 8 9 10 P 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07 P 0.07 0.22 0.38 0.30 0.03 如何评价这两名同学的射击水平？ 评价射击水平，除了要了解击中环数的均值外，还要考虑稳定性，即击中环数的离散程度．图7.3-2和图7.3-3分别是X和Y的概率分布图，比较两个图形，可以发现乙同学的射击成绩更集中于8环，即乙同学的射击成绩更稳定． 怎样定量刻画离散型随机变量取值的离散程度？ 我们知道，样本方差可以度量一组样本数据的离散程度，它是通过计算所有数据与样本均值的“偏差平方的平均值”来实现的． 一个自然的想法是，随机变量的离散程度能否用可能取值与均值的“偏差平方的平均值”来度量呢？ 设离散型随机变量X的分布列如表7.3-8所示． 环节二：观察分析，感知概念 随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度．方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散． 现在，可以用两名同学射击成绩的方差和标准差来刻画他们射击成绩的稳定性．由方差和标准差的定义，两名同学射击成绩的方差和标准差分别为 环节三：抽象概括，形成概念 方差描述随机变量取值的离散程度，了解方差的性质，除了简化计算外，还有助于更好地理解其本质． 探究：离散型随机变量X加上一个常数，方差会有怎样的变化？离散型随机变量X乘以一个常数，方差又有怎样的变化？它们和期望的性质有什么不同？ 环节四：辨析理解，深化概念 例5 拋掷一枚质地均匀的骰子，求掷出的点数X的方差． 环节五：课堂练习，巩固运用 例6 投资A，B两种股票，每股收益的分布列分别如表7.3-9和表7.3-10所示． 表7.3-9股票A收益的分布列 表7.3-10股票B收益的分布列 收益X/元 -1 0 2 收益Y/元 0 1 2 概率 0.1 0.3 0.6 概率 0.3 0.4 0.3 （1）投资哪种股票的期望收益大？ （2）投资哪种股票的风险较高？ 分析：股票投资收益是随机变量，期望收益就是随机变量的均值．投资风险是指收益的不确定性，在两种股票期望收益相差不大的情况下，可以用收益的方差来度量它们的投资风险高低，方差越大风险越高，方差越小风险越低． 表7.3-9股票A收益的分布列 表7.3-10股票B收益的分布列 收益X/元 -1 0 2 收益Y/元 0 1 2 概率 0.1 0.3 0.6 概率 0.3 0.4 0.3 在实际中，可以选择适当的比例投资两种股票，使期望收益最大或风险最小． 随机变量的方差是一个重要的数字特征，它刻画了随机变量的取值与其均值的偏离程度，或者说反映随机变量取值的离散程度．在不同的实际问题背景中，方差可以有不同的解释．例如，如果随机变量是某项技能的测试成绩，那么方差的大小反映了技能的稳定性；如果随机变量是加工某种产品的误差，那么方差的大小反映了加工的精度；如果随机变量是风险投资的收益，那么方差的大小反映了投资风险的高低；等等． 1.离散型随机变量的方差： 2.方差与标准差的性质： 为随机变量X的标准差，记为σ(X). 方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散. 环节六: