7.3.1离散型随机变量的均值（导学案）-【上好课】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第三册）

7.3.1离散型随机变量的均值 导学案 学习目标 (1) 通过实例理解离散型随机变量均值的概念，能计算简单离散型随机变量的均值. (2) 理解离散型随机变量均值的性质. (3) 掌握两点分布的均值. (4) 会利用离散型随机变量的均值，解决一些相关的实际问题． 重点难点 1．重点：离散型随机变量均值的意义、性质及应用． 2．难点：对离散型随机变量均值的意义的理解． 课前预习 自主梳理 知识点一　离散型随机变量的均值 1．离散型随机变量的均值的概念 一般地，若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…xnpn＝xipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称为期望． 2．离散型随机变量的均值的意义 均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平． 3．离散型随机变量的均值的性质 若Y＝aX＋b，其中a，b均是常数(X是随机变量)，则Y也是随机变量，且有E(aX＋b)＝aE(X)＋b. 证明如下：如果Y＝aX＋b，其中a，b为常数，X是随机变量，那么Y也是随机变量．因此P(Y＝axi＋b)＝P(X＝xi)，i＝1,2,3，…，n，所以Y的分布列为 Y ax1＋b ax2＋b … axi＋b … axn＋b P p1 p2 … pi … pn 于是有E(Y)＝(ax1＋b)p1＋(ax2＋b)p2＋…＋(axi＋b)pi＋…＋(axn＋b)pn＝a(x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn)＋b(p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn)＝aE(X)＋b，即E(aX＋b)＝aE(X)＋b. 思考　离散型随机变量的均值与样本平均值之间的关系如何？ 答案　(1)区别：随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本平均值是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化． (2)联系：对于简单的随机样本，随着样本容量的增加，样本平均值越来越接近于总体的均值． 知识点二　两点分布的均值 如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p. 自主检测 1.判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1) 随机变量X的均值E(X)是个变量，其随X的变化而变化．(　 　) (2) 随机变量的均值反映了样本的平均水平．(　 　) (3) 若随机变量X的均值E(X)＝2，则E(2X)＝4.(　 　) (4) 若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝P(X＝1)．(　 　) (5) 随机变量的均值与样本的平均值相同．( ) (6) 离散型随机变量的均值E(X)是一个随机数值.(　　) (7) 随机变量的均值相同,则两个分布也一定相同.(　　) (8) 若X服从两点分布,则E(X)=np.(　　) 【答案】（1）×（2）×（3）√（4）√（5）×（6）×（7）×（8）× 2.已知随机变量的分布列为，、、，则随机变量的期望为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据随机变量的期望公式，求出的值即可. 【详解】因为随机变量的分布列为，、、， 所以随机变量的期望. 故选：A. 3.若随机变量的概率分布列如下表： 0 2 4 0.3 0.2 0.5 则等于（    ） A．2031 B．12 C．3.04 D．15.2 【答案】A 【分析】先求出，再根据均值的性质可求出. 【详解】据题意，得， 所以. 故选：A. 【点睛】本题考查根据分布列求离散型随机变量的均值，以及根据均值求新的均值. 4.随机抛掷一枚骰子，则所得骰子点数的期望为（    ） A．0.6 B．1 C．3.5 D．2 【答案】C 【分析】写出分布列，然后利用期望公式求解即可． 【详解】抛掷骰子所得点数的分布列为 1 2 3 4 5 6 所以． 故选：． 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题． 5.某人进行一项实验，若实验成功，则停止实验，若实验失败，再重新实验一次，若实验3次均失败，则放弃实验，若此人每次实验成功的概率为，则此人实验次数的期望是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】列出实验次数的分布列，根据数学期望的数学计算公式即可求解. 【详解】由题意可得，每次实验成功的概率为，则失败的概率为， ， ， 则实验次数的分布列如下：