7.3.1离散型随机变量的均值（教学课件）-【上好课】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第三册）

1 第7章《随机变量及其分布》 人教A版2019选择性必修第三册 7.3.1离散型随机变量的均值 1.通过实例理解离散型随机变量均值的概念，能计算简单离散型随机变量的均值. 2.理解离散型随机变量均值的性质. 3.掌握两点分布的均值. 4.会利用离散型随机变量的均值，解决一些相关的实际问题． 学习目标 离散型随机变量的分布列全面地刻画了这个随机变量的取值规律，但在解决有些实际问题时，直接使用分布列并不方便．例如，要比较不同班级某次考试成绩，通常会比较平均成绩；要比较两名射箭运动员的射箭水平，一般会比较他们射箭的成绩（平均环数或总环数）以及稳定性．因此，类似于研究一组数据的均值和方差，我们也可以研究离散型随机变量的均值和方差，它们统称为随机变量的数字特征． 环节一：创设情境，引入课题 问题1甲、乙两名射箭运动员射中目标箭靶的环数的分布列如表7.3-1所示． 表7.3-1 环数X 7 8 9 10 甲射中的概率 0.1 0.2 0.3 0.4 乙射中的概率 0.15 0.25 0.4 0.2 如何比较他们射箭水平的高低呢？ 类似两组数据的比较，首先比较击中的平均环数，如果平均环数相等，再看稳定性． 即甲射中平均环数的稳定值（理论平均值）为9，这个平均值的大小可以反映甲运动员的射箭水平． 从平均值的角度比较，甲的射箭水平比乙高． 环数X 7 8 9 10 甲射中的概率 0.1 0.2 0.3 0.4 乙射中的概率 0.15 0.25 0.4 0.2 一般地，若离散型随机变量X的分布列如表7.3-2所示， 为随机变量X的均值(mean)或数学期望(mathematical expectation)，数学期望简称期望．均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平． 环节二：观察分析，感知概念 例1 在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分．如果某运动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球1次的得分X的均值是多少？ 即该运动员罚球1次得分X的均值是0.8． 例2 抛掷一枚质地均匀的骰子，设出现的点数为X，求X的均值． 分析：先求出X的分布列，再根据定义计算X的均值． 环节三：抽象概括，形成概念 观察：掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数的均值为3.5．随机模拟这个试验，重复60次和重复300次各做6次，观测出现的点数并计算平均数．根据观测值的平均数（样本均值）绘制统计图，分别如图7.3-1（1）和（2）所示．观察图形，在两组试验中，随机变量的均值与样本均值有何联系与区别？ 观察图7.3-1可以发现：在这12组掷骰子试验中，样本均值各不相同，但它们都在掷出点数X的均值3.5附近波动，且重复掷300次的样本均值波动幅度明显小于重复60次的． 事实上，随机变量的均值是一个确定的数，而样本均值具有随机性，它围绕随机变量的均值波动．随着重复试验次数的增加，样本均值的波动幅度一般会越来越小．因此，我们常用随机变量的观测值的均值去估计随机变量的均值． 你能给出证明吗？ 例3 猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名．某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲A，B，C歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如表7.3-3所示． 表7.3-3 歌曲 A B C 猜对的概率 0.8 0.6 0.4 获得的公益基金额/元 1000 2000 3000 规则如下：按照A，B，C的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首求嘉宾获得的公益基金总额X的分布列及均值． 分析：根据规则，公益基金总额X的可能取值有四种情况：猜错A，获得0元基金；猜对A而猜错B，获得1000元基金；猜对A和B而猜错C，获得3000元基金；A，B，C全部猜对，获得6000元基金．因此X是一个离散型随机变量．利用独立条件下的乘法公式可求分布列． 环节四：辨析理解，深化概念 解：分别用A，B，C表示猜对歌曲A，B，C歌名的事件，则A，B，C相互独立． X的分布列如表7.3-4所示． 表7.3-4 X 0 1000 3000 6000 P 0.2 0.32 0.288 0.192 如果改变猜歌的顺序，获得公益基金的均值是否相同？如果不同，你认为哪个顺序获得的公益基金均值最大？ 例4 根据天气预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01．该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元．为保护设备，有以下3种方案： 方案1 运走设备，搬运费为3800元； 方案2 建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能防小洪水； 方案3 不采取措施． 工地的领导该如何决策呢？ 分