第二章平面向量及其应用复习 课件-2022-2023学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

第二章 平面向量及其应用复习 向量：既有大小又有方向的量统称为向量。 注意：手写向量必须加箭头！ 长度相等且方向相同的两个向量称为相等向量，向量与相等， 记作. 若两个非零向量与向量的方向相同或相反，则称这两个向量为共线向量或平行向量，也称这两个向量共线或平行，记作：. 若两个向量的长度相等且方向相反，则称他们互为相反向量，相反向 量是共线向量，但共线向量不一定是相反向量. 向量的相反向量记作，规定零向量与任何向量共线，即对于任意向量，都有，零向量的相反向量仍是零向量. 1.2向量的基本关系 1、向量加法的平行四边形法则（起点重合）： 已知两个不共线的向量，在平面内任取一点作有向线段，以有向线段和为邻边作平行四边形，则有向线段表示的向量即为向量与向量的和，记作 2.1向量的加法 2、向量加法的三角形法则（首尾相接）： 作不共线的有向线段，，以有向线段的终点为起点，作有向线段，连接得到有向线段. ， . 向量减法的三角形法则（由减数终点指向被减数终点） . 向量减法运算的恒等式： 当且仅当同向时，右边等号成立， 当且仅当反向时，左边等号成立， 当的夹角为，有成立. 2.2向量的减法 向量的数乘： 实数与向量的乘积是一个向量，记作 当时，向量与向量的方向相同； 当时，向量与向量的方向相反; 当时，，方向任意. 3.1向量的数乘运算 在非零向量方向上的单位向量是，这个过程称为向量的单位化，一个非零向量的单位向量是 数乘运算的运算律： (1)； (2)； (3). 共线(平行)向量基本定理： 给定一个非零向量，则对于任意向量，的充要条件是： 存在唯一一个实数，使. 总结： 1、（ ） 2、A、B、C三点共线 3、A、B、C三点共线 4、若与 3.2向量的数乘与向量共线的关系 平面向量基本定理： 如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任意向量，有且只有一对实数，使. 注意：①是两个不共线的向量； ②是平面内的任意向量； ③为实数，且唯一确定. 4.1平面向量基本定理 4.2平面向量及运算的坐标表示 1、平面向量的坐标表示：由平面向量基本定理可知，有且仅有一对实数使 ，即，我们把坐标称为向量在标准正交基下的坐标，即向量可以表示为. 2、平面向量运算的坐标表示： 设， ①， ②. 如图，设点， ③. 3、平面向量平行的坐标表示：设，， 向量. 5.1向量的数量积 向量数量积的定义：已知两个非零向量和，作，， 向量与的夹角记为或()， 称为与的数量积(或内积)，记作，即 . 注意：    知三求一.  “ · ”不能省略不写，也不能写成“×” 投影： 如图，已知两个非零向量和，作，，过点向直线作垂线，垂足为，得到在上的投影，称为投影向量，称为投影向量的数量， 即向量在向量方向上的投影数量为， 投影向量= . 5.1向量的数量积 数量积的运算律： 交换律：. 与数乘的结合律：． 关于加法的分配律：. 注意：. 补充： ²±2 ² 5.1向量的数量积 2，数量积的运算律： ①若是单位向量，则； ② ； ③；； ④； ⑤对任意两个向量有，当且仅当时等号成立. 5.1向量的数量积 5.2向量数量积的的坐标表示 设向量，所以. 1、向量模的坐标表示： ①设，则， ②设，则 2、向量夹角的坐标表示： . 3、向量垂直的坐标表示： . 6.1(第一课时)余弦定理 余弦定理： , , . 变形： ，，. 三角形面积公式： 正弦定理： 变形： ① （边化角） ② （角化边） ③ （边角互化） 正弦定理 三角形中常见结论： ①； ②大边对大角，大角对大边； ③两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 探究二已知两边及其中一边所对的角解三角形 方法总结：首先，由正弦定理求出第二条边所对角的正弦，这时要判断是两解、一 解还是无解； 然后，根据三角形内角和定理得到第三个角的大小； 最后，由余弦定理或正弦定理求得第三条边的边长. $$