第 2 讲 相反数与绝对值讲义2023-2024学年人教版七年级数学上册

第 2讲 相反数与绝对值 知识梳理 1.相反数的概念 (1)代数意义：如果两个数只是符号不同，那么我们称其中一个数是另外一个数的相反数，也称这两个数互为相反数. (2)几何意义：从数轴上看，位于原点两侧，且到原点的距离相等的两个点对应的数叫作互为相反数. (3)0的相反数是0(它本身)(相反数是它本身的只有0). 2. 求相反数 一般地，在一个数的前面加上"-"号就表示这个数的相反数.如a 的相反数为-a. 3. 绝对值的概念 (1)我们把在一个数在数轴上所对应的点到原点的距离叫作这个数的绝对值. (2)表示：一个数a 的绝对值可以表示为la|. 引申：绝对值表示的是一个数a 到原点的距离，记为|a|,也可看作|a-0|;若要表示一个数a 到任一点b 的距离，可记为la-b|. 3. 绝对值的性质 (1)一个正数的绝对值是它本身； 一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0,用数学式表达如下所示， 因此绝对值是它本身的数是正数和0,即非负数. (2)互为相反数的两数，它们的绝对值相等(可以从相反数的概念理解). (3)绝对值的非负性：由于距离总是正数或者0,因此绝对值不可能是负数，即|a l≥0. 引申：若几个数的绝对值之和为0,则它们各自为0.即若 |a |+ |b |+ |c |+…+ | z|=0,则a=b=c=…=x=0. (4)绝对值的其他性质：① |ab |= |a |·|b | ;② |a² |= |a l²=a²;③(b≠0). 典型例题 例1 已 知 2n+3与-5是相反数，则 n= . 分 析 -5的相反数有且仅有5,因此题目就是解决2n+3=5这个方程. 解 n=1. 例2 已知 |x-5 |+ly+1 |=0, 求 x,y 的值. 分 析 此题主要考查对绝对值非负性的运用.因为任何数的绝对值都是非负数，即|al≥0. 因此，|x-5l≥0,|y+1|≥0.要使得这两个非负数之和为0,则绝对值内的数必须为0,即x-5=0,y+1=0, 由此可求出x,y的值. 解 因为 |x-5l≥0, |y+1l≥0, 且 |x-5 |+ |y+1 |=0. 所以 |x-5 |=0, |y+1 |=0,即 x-5=0,y+1=0. 所以x=5,y=- 1. 例3 数轴上点A 表示的数是-2,点B 到点A 的距离是5个单位长度，则点 B 所表示的有理数是什么? 分 析 方法一：上节中，我们已经尝试使用数轴来解决该类问题，如图2-1所示： 例4 在数轴上，我们能够十分直观地得到点 B 所对应的数. 方法二：使用绝对值来解决该问题. 我们知道点 B 到点A的距离是5个单位长度，且点A表示的数是-2.因此，我们可以写作 |B-(-2)|=5,其中B 表示点B 对应的数，-2表示点A 对应的数，5表示它们之间的距离，接下来就是求解绝对值方程 |B- (-2) |=5.我们知道±5的绝对值均为5,因此，B-(-2)=5或 B-(-2)=-5. 解 点 B 为3或— 7. 例4 出租车司机小李某天的营运全是在东西走向的晨光大道上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天的行驶记录(单位：千米)如下： +15,-5,+9,-1,+10,-4,-2,-8,+15,+6 如果出租车耗油量为0.15升/千米，则这天小李的出租车共耗油多少升? 分 析 要计算耗油量，必须知道出租车行驶的总路程，这个路程可以通过绝对值求出.出租车 行驶的总路程为 |+15 |+ |- 5 |+ |+9 |+ |- 1 |+ |+10 |+ |-4 |+ |-2 |+ |-8 |+ |+15|+ |+6|=15+5+9+1+10+4+2+8+15+6=75(千米).把这个总路程和每千米的耗油量相乘，即得结果. 解 |+15 |+ |-5 |+ |+9 |+ |-1 |+ |+10 |+ |-4 |+ |-2 |+ |-8 |+ |+15 |+ |+6 | =15+5+9+1+10+4+2+8+15+6=75(千米) 75×1.5=112.5(升) 答：这天小李的出租车共耗油112.5升， 双击训练 1.如果a 与-3互为相反数，那么a 是( ). A.—3 B. C. D.3 2.下列结论正确的有( ). ①任何数都不等于它的相反数； ②符号相反的数互为相反数； ③表示互为相反数的两个数的点到原点的距离相等； ④若有理数 a,b 互为相反数，那么a+b=0; ⑤若有理数 a,b 互为相反数，则它们一定异号. A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个 3.绝对值不大于11