第06讲 完全平方公式-【寒假自学课】2024年七年级数学寒假提升学与练（北师大版）

第06讲 完全平方公式 思维导图 核心考点聚焦 1.运用完全平方公式进行运算 2.利用完全平方公式进行简便运算 3.通过对完全平方公式变形求值 4.求完全平方式中的字母系数 5.完全平方公式在几何图形中的应用 一、完全平方公式 完全平方公式:两数和(差)的平方,等于它们的平方和,加(减)它们积的2倍. 即完全平方和公式：(a+b)²=a²+2ab+b²；完全平方差公式：(a-b)²=a²-2ab+b²． （1）公式的特征：前平方，后平方，中间是乘积的2倍． （2）公式的变化： ①a²+b²=(a+b)²-2ab；②a²+b²=(a-b)²+2ab；③(a+b)²=(a-b)²+4ab；④(a-b)²=(a+b)²-4ab； ⑤(a+b)²-(a-b)²=4ab． 二、平方差和完全平方差区别 平方差公式:(a+b)(a-b)=a²-b²； 完全平方差公式： (a-b)²=a²-2ab+b²； 平方差公式和完全平方差公式易混淆，切记完全平方差中间有乘积的2倍． 1.熟记完全平方和与完全平方差公式，并能区别开. 2.能利用完全平方公式进行简便运算，能解决与完全平方公式有关的几何图形的应用问题. 3.完全平方公式变式求值，巧变形. 考点剖析 考点一、运用完全平方公式进行运算 例题1．运用完全平方公式计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【解析】（1）； （2）； （3）； （4）． 【变式训练】 1．计算：． 【解析】 ． 2．计算：． 【解析】 ． 考点二、利用完全平方公式进行简便运算 例题2．用简便方法计算：． 【解析】原式 ． 【变式训练】 1．用简便方法计算：． 【解析】原式 ． 考点三、通过对完全平方公式变形求值 例题3．已知，. (1)求的值； (2)求的值. 【解析】（1）原式 ， 将，代入得原式=11-2×1=9． （2）由（1）得：， 原式， 将，代入得原式=9-2×1=7． 【变式训练】 1．已知，，求下列代数式的值． (1)；(2)． 【解析】（1）因为，所以，所以， 因为，所以； （2） ， ， ， ． 2．阅读下列解答过程： 已知，且满足，求的值． ， ，即． ． 请通过阅读以上内容，解答下列问题： 已知，且满足，求的值． 【解析】因为， 所以， 整理得：， 所以， 所以． 考点四、求完全平方式中的字母系数 例题4．已知关于x的式子是某个多项式的完全平方，那么A是 ． 【答案】、和 【解析】①若为首尾两倍的平方. 因为，所以， ②若为首尾两倍的平方. 因为是多项式的平方，所以； 故答案为：、和． 【变式训练】 1．若是一个完全平方式，则 ． 【答案】11或 【解析】因为是一个完全平方式， 所以， 所以，解得或， 故答案为：11或． 2．若整式4x2+Q+1是完全平方式，请你写出满足条件的单项式Q是__________． 【答案】4x，-4x，-1，-4x2，4x4． 【解析】因为4x2+4x+1=（2x+1）2， 4x2-4x+1=（2x-1）2， 4x2-4x2+1=12， 4x2+1-1=（2x）2， 4x4+4x2+1=（2x2+1）2， 所以满足的Q有4x，-4x，-4x2，-1，4x4． 故答案为：4x，-4x，-1，-4x2，4x4． 考点五、完全平方公式在几何图形中的应用 例题5．现有长与宽分别为，的小长方形若干个，用两个这样的小长方形，拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： (1)根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于，的关系式（用，的代数式表示出来）： 图1表示：　　　　　　；图2表示：　　　　　　； 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (2)若，，则　　　　　　，　　　　　　． 【解析】（1）图1中，由图可知， ， 由题意得，， 即， 故答案为：． 图2中，由图可知，，， 由题图可知，， 即， 故答案为：． （2）， ，， ， 所以． 故答案为：16；12． 【变式训练】 1．我们将完全平方公式进行变形，可以得到一些新的等式，如：，，等等． 请利用这些变形后的等式解决下列问题： （1）已知，，求的值； （2）若满足，求的值； （3）如图，四边形是梯形，，，，，连接，，若，则图中阴影部分的面积为__________． 【解析】（1）因为，即，而， 所以，所以； （2）设，则， 因为，即， 所以； （3）设， 由于，即，所以， ， 故答案为：5． 过关检测 一、选择题 1．下列计算不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．已知，则的值为（    ） A．28 B．40 C．26 D．25 3．小华在利用完全平方公式计算一个二项整式的平方时，不小心用墨水