数列求和专题学案-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

数列求和专题 知识点： 1.等差数列前n项和公式 (方法： ) 2.等比数列前n项和公式 (方法： ) 3.特殊数列的前n项和 ①正整数和 ②正奇数、偶数和 ③二次幂和 ④三次幂和 探究新知： 一、公式法 例1 求下列数列的前n项和 ①：2，4，6，8， ②： 例2 求数列1，3＋5，7＋9＋11，13＋15＋17＋19，…的前n项和. 二、分组求和法 (1)一般情况下形如cn＝an±bn ； (2)数列{an}与{bn}是等差数列, 或等比数列, 或是其他已知求和方法的数列； (3)求数列{cn}的前n项和，分别利用已知的求和方法； 如等差数列和等比数列前n项和公式求和即可. 例3 已知an=n+2n-1，求数列{an}的前n项和Sn. 例4 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝t，点(Sn，an＋1)在直线y＝3x＋1上. (1)当实数t为何值时，数列{an}是等比数列？ (2)在(1)的结论下，设bn＝log4an＋1，cn＝an＋bn，Tn是数列{cn}的前n项和，求Tn. 三、并项求和法 适用于通项中含有(－1)n的数列（摆动数列）或通项公式分序号为奇数和偶数分类讨论的数列适用于并项求和; 注：也可分序号为奇数和偶数分别进行求和[分组求和]. 例5 已知数列an＝(－1)n n，求数列{an}的前n项和Sn. 四、倒序相加法 (1)倒序相加法是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列(反序)，再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1＋an). (2)如果一个数列{an}，首末两端等“距离”的两项的和相等，那么求其和可以用倒序相加法. 例6 已知函数y=f(x)满足f(x) + f(1-x) =1，若数列{an}满足 ，求数列{an}的前20项和. 例7 已知数列{an}的通项公式为an＝n－2(n∈N*)，设 ，则数列{f(an)}的各项之和为 A.36 B.33 C.30 D.27 五、错位相减法（等差×等比） (1)适用数列:①通项公式形如an·bn ②{an}和{bn}中一个是等差数列, 一个是等比数列; 错位相减法求和的一般步骤：求通项—累加—乘公比—错位—相减—求和. (2)所乘系数: 在等式两边同乘的是等比数列的公比 (3)书写格式: 两个等式中次数一样的项对齐（错位对齐） (4)差的特点: 相减后的差共有n+1项, 去掉前后两项,中间的n-1项一定是等比数列. 例8 求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn(x≠0). 例9 已知数列{an}的前n项和为Sn，数列是公差为1的等差数列且a2＝3. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝an·3n，求数列{bn}的前n项和Tn. 6.裂项相消法 裂项相消法求和的一般步骤：求通项——裂项—累加—消项—化简. 注意： (1)裂项前要先研究分子与分母的两个因式的差的关系. (2)若相邻项无法相消，则采用裂项后分组求和，即正项一组，负项一组. (3)检验所留的正项与负项的个数是否相同. 例10已知数列，如何求{an}的前n项和Sn？ 例11 设 {an}是公差d 不为零的等差数列 ，{bn}满足 求：{bn}的前n项和. 例12 设Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S3＝a7，a8－2a3＝3. (1)求an； (2)设，求数列{bn}的前n项和Tn. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$