2024年中考数学探究性试题复习-三角形

中考加油 2024年中考数学探究性试题复习-三角形 一、综合题 1．如图： （1）如图1，若点，在直线的同侧，在直线上找一点，使的值最小．作法如下：作点关于直线的对称点，连接与直线的交点就是所求的点．如图2，在等边三角形中，点是边的中点，是高，且，在上找一点，使的值最小． 作法如下：作点关于直线的对称点，恰好与点重合，连接交于一点，则这点就是所求的点，求的最小值． （2）实践运用：如图3，在四边形中，点与点关于直线对称，对角线与相交于点，，点是对角线上的一个动点，，点是的中点，求的最小值； （3）拓展延伸：如图4，在四边形的对角线上找一点，使．（保留作图痕迹，不必写出作法） 2．如图： （1）【发现证明】 如图1，在正方形中，点，分别是，边上的动点，且，求证：．小明发现，当把绕点顺时针旋转90°至，使与重合时能够证明，请你给出证明过程． （2）【类比引申】 ①如图2，在正方形中，如果点，分别是，延长线上的动点，且，则（1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出，，之间的数量关系　 　（不要求证明） ②如图3，如果点，分别是，延长线上的动点，且，则，，之间的数量关系是　 　（不要求证明） （3）【联想拓展】如图1，若正方形的边长为6，，求的长． 3．【阅读理解】 三角形内角和定理告诉我们：如图①，三角形三个内角的和等于． 如图②，在中，有，点D是延长线上一点．由平角的定义可得，所以．从而得到三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． （1）【初步应用】 如图③，点D，E分别是的边延长线上一点， 若，则　 　； （2）若，则　 　； （3）若，则　 　． （4）【拓展延伸】 如图④，点D，E分别是的边延长线上一点， 若，分别作和的平分线交于点O，则　 　； （5）若，分别作和的三等分线交于点O，且，，则　 　； （6）若，分别作和的n等分线交于点O，且，，则　 　． 4． （1）综合与实践 问题情境：如图1，在中，，，D，E分别是，的中点，连接． 如图2，将绕着点C逆时针旋转，连接BE和，小明发现，，请你证明该结论． （2）猜想探究： 如图3，将绕着点C逆时针旋转，此时恰好有，连接，延长，交于点F，试猜想四边形的形状，并说明理由． 拓展探究： （3）如图4，将绕着点C逆时针旋转，直接写出四边形的面积的最大值． 5．阅读与思考． 纯几何法验证勾股定理我们知道，勾股定理：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．勾股定理的验证方法到目前为止也有300多种，最著名的有“赵爽弦图法”“总统证法”“毕达哥拉斯法”“青朱出入法”“达·芬奇法”“欧几里得法”等等．下面我们介绍一种纯几何验证法． 如图1，在中，，于点D，先证明，可得，再证明，可得，两式相加即可得勾股定理，这种方法避开了利用拼图和面积法繁琐的证明，不失为一种很好的验证方法． 阅读下列材料，并完成相应的任务． （1）根据材料中的方法，请写出完整的证明过程． （2）如图2，将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，我们把这样的直角三角形称为“勾股形”，图3是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成的矩形，若，求该矩形的面积． 6． （1）【问题呈现】 如图1，和都是等边三角形，连接．求证：． （2）【类比探究】 如图2，和都是等腰直角三角形，．连接．请直接写出的值． （3）【拓展提升】 如图3，和都是直角三角形，，且．连接．延长交于点F，交于点G．求的值． 7．如图1，已知和均为等腰直角三角形，点D、E分别在线段上，． （1）观察猜想：如图2，将绕点A逆时针旋转，连接，的延长线交于点F．当的延长线恰好经过点E时，点E与点F重合，此时， ①的值为　 　； ②的度数为　 　度； （2）类比探究：如图3，继续旋转，点F与点E不重合时，上述结论是否仍然成立，请说明理由． （3）拓展延伸：若，，当所在的直线垂直于时，请直接写出线段的长． 8．在和中，，，，用这两个直角三角形研究图形的变换. （1）【翻折】如图1，将沿线段翻折，连接，下列对所得四边形的说法正确的是　 　. ①平分、，②、互相平分，③，④、、、四点共圆. （2）【平移】 如图2，将沿线段向右平移，使点移到的中点，连接、、，请猜想四边形的形状，并说明理由. （3）【旋转】如图3，将绕点逆时针方向旋转，使，连接、，则旋转角为　 　°，　 　cm. 9．如图 （1）【问题情境】如图1，四边形ABCD是正方形，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作正方形CEFG，连接DG、BE，则DG与