专题33 圆中的重要模型之圆幂定理模型-2024年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（全国通用）

专题33 圆中的重要模型之圆幂定理模型 圆幂定理是一个总结性的定理，是对相交弦定理、切割线定理、割线定理、弦切角定理、托勒密定理以及它们推论的统一与归纳。可能是在19世纪由德国数学家施泰纳（Steiner）或者法国数学家普朗克雷（Poncelet）提出的。圆幂定理的用法：可以利用圆幂定理求解与圆有关的线段比例、角度、面积等问题。 模型1.相交弦模型 条件：在圆O中，弦AB与弦CD交于点E，点E在圆O内。 结论：。 例1．（2023·江苏无锡·校联考三模）如图，点，，，在上，，．若，，则的长是 ．    例2．（2023·山东济宁一模）如图，边长为6的等边三角形ABC内接于⊙O，点D为AC上的动点（点A、C除外），BD的延长线交⊙O于点E，连接CE．(1)求证；(2)当时，求CE的长． 例3．（2023·江西宜春·统考模拟预测）阅读与思考：九年级学生小刚喜欢看书，他在学习了圆后，在家里突然看到某本数学书上居然还有一个相交弦定理（圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等），下面是书上的证明过程，请仔细阅读，并完成相应的任务． 圆的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段的积相等． 已知：如图1，的两弦相交于点P．求证：． 证明：如图1，连接． ∵，．∴，（根据） ∴@，∴， ∴两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等． 任务：(1)请将上述证明过程补充完整．根据：____________；@：____________． (2)小刚又看到一道课后习题，如图2，AB是的弦，P是上一点，，，，求的半径． 模型2.双割线模型 条件：如图，割线CH与弦CF交圆O于点E和点G。 结论： 例1．（2023·辽宁葫芦岛·一模）已知：如图，、是⊙的割线，，，.则= . 例2．（2023·四川成都·九年级校考阶段练习）如图，为的割线，且，交于点C，若，则的半径的长为 ． 例3．（2022·河南洛阳·统考一模）我们知道，直线与圆有三种位置关系：相交、相切、相离．当直线与圆有两个公共点（即直线与圆相交）时，这条直线就叫做圆的割线．割线也有一些相关的定理．比如，割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等．下面给出了不完整的定理“证明一”，请补充完整． 已知：如图①，过外一点作的两条割线，一条交于、点，另一条交于、点． 求证：． 证明一：连接、，∵和为所对的圆周角，∴______． 又∵，∴______，∴______．即． 研究后发现，如图②，如果连接、，即可得到学习过的圆内接四边形．那么或许割线定理也可以用圆内接四边形的性质来证明．请根据提示，独立完成证明二． 证明二：连接、， 模型3.切割线模型 条件：如图，CB是圆O的切线，CA是圆O的割线。 结论： 例1．（2023·江苏南通·中考模拟）如图，已知是的切线，为切点，与相交于．两点，，，则的长等于（   )    A． B．16cm C． D． 例2．（2023·河南郑州·一模）复习巩固，切线：直线和圆只有一个公共点，这时这条直线和圆相切，我们把这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点． 割线：直线和圆有两个公共点，这时这条直线和圆相交，我们把这条直线叫做圆的割线． 切线长：过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长． 阅读材料：《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作．它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的教科书．其中第三卷命题36﹣2圆幂定理（切割线定理）内容如下： 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． 为了说明材料中定理的正确性，需要对其进行证明，下面已经写了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程． 已知：如图，A是⊙O外一点， ．求证： ． 例3．（2022·河南驻马店·校考二模）在数学课上，当老师讲到直线与圆的位置关系时，张明同学突发奇想，特殊线与圆在不同的位置情况下会有怎样的数量关系呢？于是在课下他查阅了老师推荐他的《几何原本》，这本书是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作．它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的教科书．其中第三卷命题36-2圆幂定理（切割线定理）内容如下：切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长比例中项．（比例中项的定义：如果、、三个量成连比例即，则叫做和的比例中项） (1)为了说明材料中定理的正确性，需要对其进行证明，下面已经写了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证