5.2.2同角三角函数的基本关系课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

5.2三角函数的概念 第2课时 同角三角函数的基本关系 第五章 三角函数 探究一：三角函数的概念 设角𝛼是一个任意象限角，点𝑃(𝑥,𝑦)为角𝛼终边上任意一点，它与原点的距离为 请根据三角函数的定义回答： 情境设置 问题：求下列各式的值? (1) ； (2) ； (3) ； (4) . 2 新知生成 知识点一 同角三角函数的基本关系 1、同角三角函数的关系 (1)平方关系： (2)商数关系： 这就是说，同一个角𝛼的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角的正切. 3 新知生成 知识点一 同角三角函数的基本关系 2、同角三角函数关系的变形 4 新知生成 知识点一 同角三角函数的基本关系 特别注意： (1)注意“同角”,这里“同角”有两层含义,一是“角相同”,二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立,即与角的表达形式无关,如成立,但是就不一定成立. (2) 是的简写,读作“的平方”，不能将写成，前者是的正弦的平方，后者是的正弦，两者是不同的，要弄清它们的区别，并能正确书写. (3)注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的， 对一切恒成立，而仅对成立. 5 小试牛刀 1.已知 𝛼 是第四象限角， ，则 _______. 2.若 ，且 𝛼 为第四象限角，则 【解析】：由平方关系得，在, 【解析】：由平方关系得，在，，由商数关系 6 一、已知一个三角函数值求另两个三角函数值 例题1 (1)已知，则 _____________. (2)已知已知，求的值. 【解析】： (1) 由已知得，由①得，代入②得，所以，又，所以，所以 (2)因为，所以是第二或第三象限的角. 如果是第二象限角，那么 如果是第三象限角，那么. 7 反思感悟 方法总结 已知一个三角函数值求其他三角函数值的方法 (1)若已知，可以先应用公式，求得的值，再由公式，求得的值. (2) 若已知，可以先应用公式求得的值，再由公式，求得的值. (3) 若已知，可以应用公式得，将其代入，求得的值. 8 新知运用 跟踪训练1 已知，求的值. 【解析】：由题意可知，. 又 即 .又由，可知与异号, 角的终边在第二或第四象限. 当角的终边在第二象限时,,; 当角的终边在第四象限时,. 9 二、化简求值与恒等式的证明 例题2 化简：(1) ，其中是第二象限角； (2) 【解析】:(1)因为 是第二象限角，所以，， , 故 . (2)原式 ，当 时，原式 ，当 时，原式 . 10 反思感悟 方法总结 利用同角三角函数基本关系化简、证明的常用方法 (1)化切为弦，减少函数名称. (2)对含根号的，应先把被开方式化为完全平方，再去掉根号. (3)对含有高次的三角函数式，可借助于因式分解，或构造平方关系，以降幂化简. 11 二、化简求值与恒等式的证明 跟踪训练2 化简下列各式：(1) (2)其中为第二象限角. 【解析】(1)由题意可知，原式 (2)原式 12 三、型求值问题 例题3 已知，求： ； (2) 【解析】:(1) (2)由(1)可知，，所以 ，所以. 13 反思感悟 方法总结 与之间的关系 (1) 利用该公式，已知其中一个，能求另外二个，即“知一求二”. (2)求或的值，要注意判断它们的符号. 14 新知运用 跟踪训练3 若 ，则 【解析】由已知得 ， . . 15 核心素养(化切求值) 典例 已知，求下列各式的值： (1)； (2) ； (3) 【解析】:(1)原式 (2)原式， (3)原式 16 随堂检测 1.已知 ， ，则的值为( ). A. B. C. D. 2. 已知 ， ，则 ( ). A. B. C. D. B A 17 随堂检测 3. 已知则 ( ) A. B. C. D. 4. (1)化简，其中是第二象限角. (2) 求证：. D 【解析】4.(1)因为 是第二象限角，所以 ,所以 ，所以 . (2)左边右边. 18 课堂小结 1.知识清单： (1)同角三角函数基本关系. (2)利用同角三角函数的基本关系化简与证明. (3)型求值问题. (4)齐次式的化切求值. 2.方法归纳：整体代换法. 19 $$