二次函数中特殊三角形问题2023-2024学年人教版九年级上册数学期末专题复习

人教版九年级上册数学期末专题复习 二次函数中特殊三角形问题 一、解答题 1．已知抛物线过点，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是抛物线在第一象限上的点，点是抛物线对称轴上的点，当，时，求点的坐标； (3)点，为抛物线上异于点的两点，且，连接，过点作，垂足为求证：平面上存在一点，使得的长度为定值． 2．如图1，抛物线与x轴交于点，两点，与y轴交于点C，经过点B的直线交y轴于点    (1)求抛物线的解析式 (2)如图2，过点A于作的平行线交抛物线于另一点D，点P是抛物线位于线段下方的一个动点，联结，，，，当四边形面积最大时，求点P坐标． (3)如图3，连接，将绕点O逆时针旋转，记旋转中的三角形为，在旋转的过程中，直线与直线交于点Q，若为等腰三角形，请直接写出点Q的坐标． 3．如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，为抛物线的顶点．    (1)求此二次函数的解析式； (2)求的面积； (3)在其对称轴右侧的抛物线上是否存在一点，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线关于直线对称，且经过A，C两点，与x轴交于另一点为B．    (1)求抛物线的解析式； (2)若点P为直线上方的抛物线上的一点，过点P作轴于M，交于Q，求的最大值，并求此时P点的坐标； (3)在抛物线的对称轴上找一点D，使是以为直角边的直角三角形，请求出点D的坐标． 5．抛物线与x轴交于A，B两点，A点在B点左边，与y轴交于C点，顶点为M．    (1)当时，求点A，B，M的坐标； (2)如图1，在（1）的条件下，若P为抛物线对称轴上一个动点，且为等腰三角形，求P点坐标； (3)如图2，若一次函数的图象过A点且与抛物线交于另一点F，交对称轴于E，轴，，．若，求的值． 6．抛物线经过点和点．    (1)求该抛物线所对应的函数解析式； (2)该抛物线与直线相交于、两点，点是抛物线上的动点且位于直线下方，连接、． ①在点运动过程中，若的面积为，求点的坐标； ②在点运动过程中，若为直角三角形，求点的横坐标． 7．如图，抛物线过点、点，交y轴于点C．    (1)求b，c的值． (2)点是抛物线上的动点 ①当取何值时，的面积最大？并求出面积的最大值； ②过点P作轴，交于点E，再过点P作轴，交抛物线于点F，连接，问：是否存在点P，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图所示，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点E为线段的动点（点E不与点A，B重合），以E为顶点作，射线ET交线段于点F，C为y轴正半轴上一点，且，抛物线的图象经过A，C两点．    (1)求此抛物线的函数表达式； (2)求证：； (3)当为等腰三角形时，求此时点E的坐标． 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，其中，．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图①，点D、E是线段BC上的两点（点E在点D的右侧），，过点D作轴，交抛物线于点P，过点E作轴于点F，连接，当的面积最大时，求点P的坐标及面积的最大值； (3)如图②，在（2）取得面积最大的条件下，连接，将线段沿射线方向平移，平移后的线段记为，当点在第二象限时，设G为y轴上的动点，是否存在以为斜边的等腰？若存在，请直接写出点G的坐标，若不存在，请说明理由． 10．已知直线l与轴、轴分别相交于、两点，抛物线经过点，交轴正半轴于点．   　　   (1)求直线的函数解析式和抛物线的函数解析式； (2)在第一象限内抛物线上取点，连接、，求面积的最大值及点的坐标． (3)抛物线上是否存在点使为直角三角形，如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 11．如图（1）所示，在平面直角坐标系中，平行于轴的直线与抛物线相交于，两点．设点的横坐标为．      (1)求的长（用含的代数式表示）； (2)如图（2）所示，点在直线上，点的横坐标为．若，，求顶点在轴上且经过，两点的抛物线的顶点坐标； (3)点在直线上，，过，，三点的抛物线的顶点为，其对应函数的二次项系数为． ①求的值； ②当，为等腰直角三角形时，直接写出的值． 12．如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点与y轴交于点C，B点坐标，C点坐标．    (1)求抛物线的函数关系式和点A坐标； (2)在抛物线上是否存在点P，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由； (3)过抛物线上的点Q作垂直于y轴的直线，交y轴于点E，交直线于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为F，连接当线段的长度最短时，求出点Q的坐标． 13．如图，抛物