第3章 圆 （压轴必刷30题13种题型专项训练）-【满分全攻略】2023-2024学年九年级数学同步讲义全优学案（北师大版）

第3章 圆 （压轴必刷30题13种题型专项训练） 一．垂径定理（共3小题） 1．（2023•文成县一模）如图，为的直径，弦于点，点为圆上一点，，过点作交于点，交于点． （1）求证：； （2）若，，求． 2．（2023春•萧县月考）新定义：同一个圆中，互相垂直且相等的两条弦叫做等垂弦． （1）如图1，，是的等垂弦，，，垂足分别为，．求证：四边形是正方形； （2）如图2，是的弦，作，，分别交于，两点，连接．求证：，是的等垂弦． 3．（2022秋•肇源县月考）如图，点的坐标为，的半径为5，且与轴交于点，，与轴交于点，，试求出点，，，的坐标． 二．垂径定理的应用（共1小题） 4．（2023•迎泽区校级一模）如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度米，拱高米． （1）求圆弧所在的圆的半径的长； （2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即米时，是否要采取紧急措施？ 三．圆周角定理（共2小题） 5．（2023•恩阳区 模拟）如图，为圆的直径，，为圆上的两点，过点作于点，交圆于点，延长交的延长线于点，连接，． （1）求证：． （2）若，，， ①求的长； ②求圆的半径． 6．（2023•诸暨市模拟）如图，为的直径，弦于点，为劣弧上一动点，与的延长线交于点，连接、、、．记为常数，且． （1）求证：； （2）求的值（用含的式子表示）． 四．圆内接四边形的性质（共5小题） 7．（2023•杭州二模）如图，四边形是的内接四边形，点是延长线上的一点，且平分，于点． （1）求证：． （2）若，，求的长． 8．（2023•巨野县三模）如图，在的内接四边形中，，平分． （1）求证：是等边三角形； （2）若，求的半径． 9．（2023•包河区三模）已知：如图，四边形是的内接四边形，直径交边于点，、的延长线相交于点．连接，若． （1）求证：； （2）若，，求半径． 10．（2023•合肥模拟）如图，四边形内接于，，对角线为的直径，为外一点，平分，，连接． （1）求的度数； （2）连接，求证：． 11．（2023•杏花岭区校级模拟）如图，在圆内接四边形中，为的外角平分线，为 上一点，，延长与的延长线交于． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 五．点与圆的位置关系（共2小题） 12．（2023•滨湖区二模）如图，是的直径，点在上，，垂足为，，点是上的动点（不与重合），点为的中点，若在运动过程中的最大值为4，则的值为　　 A． B． C． D． 13．（2023•合肥模拟）如图，在矩形中，，，是矩形内部一动点，且满足，则线段的最小值是 　　；当取最小值时，延长线交线段于，则的长为 　　． 六．三角形的外接圆与外心（共8小题） 14．（2023•陆河县校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，经过，，，四点，，，则圆心点的坐标是　　 A． B． C． D． 15．（2023•石峰区三模）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，是的外接圆，点，，在网格线的交点上，则的值是 　　． 16．（2022•梅州模拟）如图，为的内接三角形，，垂足为，直径平分，交于点，连结． （1）求证：； （2）若，，求的长； （3）若点为的中点，连结，若点在上，求的值． 17．（2023•天门三模）已知：如图，内接于，为直径，弦于点，是 的中点，连接并延长交的延长线于点，连接，分别交，于点，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 18．（2023•拱墅区校级模拟）如图，内接于，连接，，记，，． （1）证明：； （2）设与交于点，半径为2， ①若，，求由线段，，弧围成的图形面积； ②若，设，用含的代数式表示线段的长． 19．（2023•南京二模）如图，内接于，，是上一点．过点作，交于点． （1）求证：； （2）若，，． ①求的长； ②的长为 　　． 20．（2023•鼓楼区校级二模）已知在中，，点平分，平分，过点、、的分别交、于点、． （1）求的度数； （2）连接，求证：是等边三角形； （3）若，则的半径　　． 21．（2023•思明区模拟）请阅读下列材料，并完成相应的任务： 阿基米德折弦定理 阿基米德，公元前公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子． 阿拉伯年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理． 阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，是的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即． 下面是运用“补短法”证明的部分证明过程． 证明：如图2，延长到点，使得，连接、、和． 是的中点， ． 任务： （1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； （2）已知等边内接于，，为