24.2.2 第3课时 切线长定理及三角形内切圆 课件-2023-2024学年人教版九年级数学上册

24.2.4 切线长定理及三角形内切圆 九年级上 人教版 学习目标 新课引入 新知学习 课堂小结 1 2 3 4 1.了解切线长的定义及切线长定理. 2.会运用切线长定理进行计算与证明. 3.认识三角形的内切圆及其有关概念，会作一个三角形的内切圆，掌握内心的性质. 学习目标 重点 难点 难点 前面我们已经学习了切线的判定和性质，已知⊙O和⊙O外一点P，你能够过点P画出⊙O的切线吗？ 新课引入 O. P A B 一、切线长定理及应用 下面研究经过圆外一点所作的两条切线之间的关系. 如图，圆的切线上某一点与切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长. 注意： ①切线是直线，不可度量； ②切线长是切线上切点与切点外另一点之间的线段的长，可以度量. 新知学习 探究 如图，PA、PB是☉O的两条切线，切点分别为A、B.在半透明的纸上画出这个图形，沿着直线PO将图形对折，图中的PA与PB，∠APO= ∠BPO有什么关系？ P O A B 如图，连接OA和OB. ∵PA和PB是⊙O的两条切线， ∴OA⊥AP，OB⊥BP. 又OA=OB,OP=OP. ∴Rt△AOP ≌ Rt△BOP. ∴PA=PB,∠APO=∠BPO. P O A B 由此得到切线长定理： 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. PA、PB分别切☉O于A、B PA = PB ∠OPA=∠OPB 应用条件: 数学语言: ∵PA、PB是☉O的两条切线，A，B为切点 ∴PA=PB,∠APO=∠BPO 针对训练 1.下列说法正确的是(　　) A．过任意一点总可以作圆的两条切线 B．圆的切线长就是圆的切线的长度 C．过圆外一点所画的圆的两条切线长相等 D．过圆外一点所画的圆的切线长一定大于圆的半径 C B P O A 2.PA、PB是☉O的两条切线，A，B是切点，OA=3. （1）若AP=4，则OP= ； （2）若∠BPA=60 °，则OP= . 5 6 二、三角形的内切圆及作法 思考 图是一块三角形的铁片，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使截下来的圆与三角形的三条边都相切？ 思路引导：半径为 r 的☉I 与△ABC 的三边都相切，圆心 I 到三角形三边的距离相等，都等于 r. 已知：△ABC. 求作：和△ABC的各边都相切的圆. M N D 作法： 1.作∠ABC 和∠ACB的平分线BM 和CN，交点为O. 2.过点O作OD⊥BC，垂足为D. 3.以O为圆心，OD为半径作圆O. ☉O就是所求的圆. A B C O 1.与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 2.三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心. 3.这个三角形叫做这个圆的外切三角形. B A C I ☉I是△ABC的内切圆，点I是△ABC的内心，△ABC是☉I的外切三角形. 归纳 例 如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA,AB分别相切于点D,E,F,且AB=9，BC=14，CA=13.求AF,BD,CE的长. 解：设AF=x，则AE=x.CD=CE=AC-AE=13-x, BD=BF=AB-AF=9-x. 由BD+CD=BC,可得（13-x）+（9-x）=14. 解得x=4. 因此AF=4，BD=5，CE=9. 归纳 求三角形内切圆的问题，一般的作辅助线的方法为： 一是连顶点、内心产生角平分线； 二是连切点、内心产生半径及垂直条件. 你学会了吗？ 1.下列说法错误的是(　　) A．三角形有且只有一个内切圆 B．等腰三角形的内心一定在它的底边的高上 C．三角形的内心不一定都在三角形的内部 D．若I是△ABC的内心，则AI平分∠BAC 针对训练 C 2.如图，△ABC中，∠B=43°，∠C=61 °，点I是△ABC的内心，求∠BIC的度数. A B C I 解：连接IB，IC. ∵点I是△ABC的内心， ∴BI，CI分别平分∠ABC，∠ACB. 在△IBC 中， 三角形内切圆 定义 三角形内心 定义 性质 角度关系 位置 锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心位置均在三角形内部，等边三角形的内心外心重合 与三角形各边都相切的圆叫做三角形内切圆 三角形三条角平分线的交点，叫做三角形内心 三角形的内心到三角形三条边的距离相等 归纳 随堂练习 1.如图，☉O是△ABC的内切圆，点D、E分别为边AB、AC上的点，且DE为☉O的切线，若△ABC的周长为25，BC的长是9，则△ADE的周长是（ ） A.7 B.8 C. 9 D. 16 A 2.如图，在△ABC中，点D为△ABC