专题5-5 三角函数综合大题10种题型归类（讲+练）-【巅峰课堂】2023-2024学年高一数学热点题型归纳与培优练（人教A版2019必修第一册）

专题 5.5三角函数综合大题归类 · 一、热考题型归纳 · 【题型一】 恒等证明：探索型 · 【题型二】 恒等证明：求值型证明 · 【题型三】 恒等证明：无条件等式恒等变形 · 【题型四】 恒等证明： 条件等式证明 · 【题型五】 二倍角降幂型：单调区间 · 【题型六】 二倍角降幂型：求值域最值 · 【题型七】 图像与性质：零点和 · 【题型八】 图像与性质：零点“和与差”的三角函数值 · 【题型九】 图像与性质：零点个数“最多最少”求w · 【题型十】 图像与性质：根定区间动求参 · 【题型十一】图像与性质：区间定根动求参（水平线） · 二、培优练 热点考题归纳 【题型一】三角恒等证明：探索型 【典例分析】 1．（2021下·江西吉安·高二统考期末）某同学在一次研究性学习中发现，以下四个式子的值都等于同一个常数. ①； ②； ③； ④ （1）试从上述四个式子中选择一个，求出这个常数； （2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论. 2.（2020下·内蒙古赤峰·高二统考期末）某同学再一次研究性学习中发现，以下三个式子的值都等于一个常数. ①. ②. ③. （1）试从上述三个式子中选出一个计算出这个常数. （2）猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明. 【提分秘籍】 三角恒等变形的三个角度 (1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”. (2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等. (3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等. 【变式演练】 1.（2022下·辽宁沈阳·高一沈阳市第三十中学校联考期中）小萌在一次研究性学习中发现，以下5个式子都成立． ①； ②； ③； ④； ⑤． 她觉着好像有某种规律，你能帮她总结出这个规律么？并证明这个结论；并利用这一结论计算的值． 2.（2023下·上海静安·高一校考期中）已知下列是两个等式： ①； ②； (1)请写出一个更具一般性的关于三角的等式，使上述两个等式是它的特例； (2)请证明你的结论； 【题型二】三角恒等证明：求值型证明 【典例分析】 1.（2023·全国·高一课堂例题）证明：． 2.（2023下·甘肃甘南·高一校考期中）求证： (1)； (2)． 【提分秘籍】 恒等变形求值，多从拆角开始。解题的关键是找出条件中的角与结论中的角的联系，通过适当地拆角、凑角来利用所给条件．常见的变角技巧有：，，，，，等． 【变式演练】 1.（2020·高一课时练习）证明：． 2.（2021·上海·高一专题练习）证明：（1）求证： （2）在中，，求证： 3.（2020下·高一课时练习）求证：． 【题型三】三角恒等证明：无条件等式恒等变形 【典例分析】 1.（2023下·湖北荆州·高一沙市中学校考阶段练习）求证： ． 2.（2021·高一课时练习）证明：． 【变式演练】 1.（2023·高一课时练习）求证： 2.（2021上·安徽合肥·高一统考期末）（1）化简：； （2）证明：. 3.（2020·高一课时练习）求证：＝. 【题型四】三角恒等证明：条件等式证明 【典例分析】 1.（2022上·福建泉州·高一校考阶段练习）（1）证明：若，求证：； （2）已知，均为锐角，且满足，，求值． 2.（2022·高一课时练习）已知，求证：． 【变式演练】 1.（2022·全国·高一专题练习）已知，且，求证：． 2.（2021·全国·高一专题练习）已知、为两相异锐角，且满足方程，求证：. 3.（2021下·高一课时练习）已知，求证：. 【题型五】二倍角降幂型：单调区间 【典例分析】 1.（2023下·湖北省直辖县级单位·高一校考期中）已知函数 (1)求函数的最小正周期； (2)当时，求函数的单调递减区间. 2.（2023下·甘肃天水·高二统考期末）已知函数，且． (1)求的值和的最小正周期； (2)求在上的单调递增区间． 【提分秘籍】 两角和差公式及二倍角公式 （1）两角和的正弦公式：_； （2）两角差的正弦公式：_； （3）两角和的余弦公式：_； （4）两角差的余弦公式：； （5）二倍角的正弦公式：__ （6）二倍角的余弦公式：__ （7）二倍角的正切公式：_ 【变式演练】 1.（2022上·云南曲靖·高一校考期末）已知函数．求： (1)的最小正周期； (2)的单调递增区间． 2．（2023·福建·高一校联考期末）已知函数. (1)求的值； (2)求的最小正周期和单调递增区间. 3.（2023·北京海淀·统考）已知函数，且． (