7.1.1 角的推广（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（人教B版2019必修第三册）

7.1.1角的推广 扳手在拧动螺母过程中转体几周,角的范围如何来表示? 这就是这节课我们所要学习的内容——角 使学生理解任意角的概念,学会在平面内建立适当的坐标系来讨论任意角.（难点） 2.理解象限角与非象限角的概念，并能判定所给角为第几象限角.(重点） 3.能写出与任一已知角终边相同角的集合.（重点） 探究点1：任意角的概念 O A B 思考1：以前我们学习的角的概念是怎样的？范围是多少？你能举一个例子吗？ 【提示】我们把有公共端点的两条射线组成的图形称为角.这个公共端点称为角的顶点，这两条射线称为角的边. （角的范围） 可以看成一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位 置所形成的图形. 思考2：当摩天轮在持续不断的转动时， （1）摩天轮所转过的角度大小是否会超过360？ （2）如果甲、乙两人分别站在摩天轮的两侧观察, 那么他们所看到的摩天轮旋转方向相同吗？如果不 同，你能用合适的数学符号表示这种不同吗？ 【提示】(1)摩天轮所转过的角度大小会超过360；(2)甲、乙两人所看到的摩天轮旋转方向相反： 一个是顺时针、另一个是逆时针. 相反意义可以用正负数来表示. 你能将以前所学的角进行推广吗？ 任意角的概念 逆时针 顺时针 正角：射线按照逆时针方向旋转而成的角 零角：射线没有旋转时形成的角 任意角 旋转方向 决定了角的“正负” 定义：一条射线绕其端点旋转到另一条射线所形成的图形称为角. 负角：射线按照顺时针方向旋转而成的角　 角的概念经过以上的推广以后,就应该包括正角、负角、零角,也就是可以形成任意大小的角. O A B 450° O A B －630° 射线OA绕端点O旋转时,旋转的角超过了周角, 按照图中箭头所指的旋转方向和弧线所表示的周数, 可知: 作图时，常用带箭头的弧来表示旋转的方向和旋转的绝对量. 思考3：角的概念推广之后，你能利用转角给出与的几何意义吗？ O A B C O A B C 在上图中,射线OA绕端点O旋转90°到射线OB位置,接着再旋转 -30°到OC位置,则∠AOC=∠AOB+∠BOC =90°+(-30°)=90°-30°=60°. 在上图中,射线OA绕端点O旋转60°到射线OB位置,接着再旋转 90°到OC位置,则∠AOC=∠AOB+∠BOC =60°+90°=150°. 各角和的旋转量等于各角旋转量的和. 探究点2：象限角的概念 对于平面内的任一个角,我们通常将角放在平面直角坐标系中来讨论,约定：角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴正半轴重合. 思考：角的终边在平面直角坐标系内的位置有几种情况? （1）置角的顶点于原点; （2）始边重合于x轴的正半轴, 【提示】 终边落在第几象限就是第几象限的角. 也可能落在x轴（或y轴）正负半轴上 45° x O y x O y 405° 126° 210° -60° (1) (2) 如下图(1)中的45°,-315°,405°角都是第一象限角,图(2)中的126°角是第 象限角,210°角是第三象限角,-60°角是第 象限角. -90° 二 四 -90°角不是象限角，其终边在y轴的负半轴上. 即时训练：锐角是第几象限的角？第一象限的角是否都是锐角？小于90º的角一定是锐角吗？ 答：锐角是第一象限的角；第一象限的角不一定是锐角；小于90º的角可能是零角或负角，故它不一定是锐角. 探究点3：终边相同的角的表示 思考1：图（1）中三个角的终边相同，它们的角度之间有什么关系吗？ 45° x O y 405° 【提示】以Ox为始边旋转45°,接着再旋转360°,则得到405°的转角，即405°=45°+360° 以Ox为始边旋转45°,接着旋-360°,则得到-315°的转角， 即-315°=45°-360° 如何表示所有与45°终边相同的角。 顺时针或逆时针方向旋转若干周 与角终边相同的角组成一个集合，可记为 例1 如图所示，已知角的终边为射线，分别作出角,,的终边. x O y A 180° D 90° B -90° C 【解析】由角的定义可知，把角的终边逆时针方向旋转可得角的终边. 把角终边顺时针方向旋转可得 角的终边. 把角终边逆时针方向旋转可得 角的终边. 例2.分别写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中满足不等式－360º≤β＜720º的元素β写出来. (1) 60º； (2) －21º . 【解析】(1) S={β|β=60º+k·360º， k∈Z }, 解不等式60º+k·360º,得 所以S中满足－360º≤β＜720º的元素是 (－1)×360º+60º=－300º， 0×360º+60º=60º， 1×360º+60º=420º． (2)