7.2.1 三角函数的定义（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（人教B版2019必修第三册）

7.2.1三角函数的定义 初中锐角三角函数(正弦,余弦,正切)是怎样定义的？ 图 形 定 义 b A B r C 今天我们来研究——三角函数的定义. 1.理解任意角的三角函数的定义，了解终边相同的角的同一三角函数值相等.（重点） 2.掌握三角函数的定义域.（难点） 3.掌握三角函数在各象限的符号.（重点） 探究点1：任意角的三角函数的定义 思考1：当是一个锐角时，初中学的正弦、余弦与正切能否通过终边上的点的坐标来定义呢？这种定义的方式能否推广到任意角？ 【提示】当是锐角时，它的终边在第一象限内. 在终边上任取一个不同于坐标原点的点, 作垂直于于点，记.则 是一个直角三角形，且 由此可知， P(x,y) x y O M x y r 思考2：当B沿射线OB移动时,角A不变,其三个三角函数值改变与否? P C (x,y) x y O P1(x1,y1) m r 结论:三角函数值与点P在终边上的位置无关,与角大小有关. 因此，可以用角终边上点的坐标来定义三角函数. 三角形相似 1.任意角三角函数的定义 叫做角α的正弦， 记作sin α， 即sin α= ； 叫做角α的余弦， 记作cos α ,即cos α= ； 叫做角α的正切， 记作tan α，即 tan α= . x O y P(x,y) 的终边 在终边上任取一点,记.则 以角为自变量的函数，统称为的三角函数 三角函数的定义域 三角函数 定义域 轴上点的横坐标为0，因此角的终边不能落在轴上 例1.已知角α的终边经过点，求,和. 【解析】设, 则. 例2 求下列各角的正弦、余弦和正切. （1）； （2）； （3） 【解析】(1)角0的终边在x轴正半轴上，在x轴的正半轴上取点， 所以,因此 （2）角的终边在轴负半轴上，在轴负半轴上取点， 所以,因此 （3）角的终边在轴负半轴上，在轴负半轴上取点， 所以,因此 例3 求的正弦、余弦和正切. x y O P M 【解析】如图，在的终边上取点P,使 得OP=2. 作，则在中， 因此，,从而因此，,cos, 提升总结： 求任意角的三角函数的步骤： （1）取终边上一点; （2）求; （3）求,,. 跟踪训练： 角α的终边过点P(－b，4)，且cosα= ， 则b的值是（ ） A.3 B.－3 C.±3 D.5 解：r= ,cosα= 由cosα＜0，得b＞0，解得b=3. A 探究点2：三角函数在各象限的符号 思考1：从定义与实例都可以看出，任意角的正弦、余弦与正切，都既有可能是正数，也有可能是负数，还可能为0.它们的符号与什么有关？试总结出任意角的正弦、余弦与正切符号的规律. y x o P (x, y) 正弦： 余弦： 正切： 因为r>0,故正弦由y的符号来决定，余弦由x的符号来决定，正切由x,y的符号共同来决定. o y x P (x, y) y x o P (x, y) y x o P (x, y) – x y o sin α x y o cos α x y o tan α + + + + + + – – – – – 一全正、二正弦 三正切、四余弦 例4.确定下列各三角函数值的符号: （1）cos 260º; （2） ; （3）tan(－672º20′)； （4） . 【解析】 (1)260在第三象限，所以cos260<0. (2) 在第四象限，所以sin( )<0. (3)－67220′=470′+(-2),可知－67220′在第一象限，所以tan(－67220′)>0. (4) 在第三象限，所以tan >0. 例5 设sinθ<0且tanθ>0，确定θ是第几象限的角. 【解析】因为sinθ<0，所以θ的终边在第三或第四象限或y轴负半轴上； 因为tanθ>0，所以θ的终边在第一或第三象限， 因此满足sinθ<0且tanθ>0的θ是第三象限的角. 1.任意角的三角函数的定义； 2.各三角函数的定义域； 3.三角函数在各象限的符号； 4.会根据三角函数定义求任意角的三角函数. $$