7.1.2 弧度制及其与角度制的换算（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（人教B版2019必修第三册）

7.1.2弧度制及其与角度制的换算 长度可以用米、厘米、英尺、码等不同的单位度量，物体的重量可以用千克、磅等不同的单位度量.不同的单位制能给解决问题带来方便，以度为单位度量角的大小是一种常用方法，为了进一步研究的需要，我们还需建立一个度量角的单位制.也就是我们这一节要学习的： 弧度制和弧度制与角度制的换算. 1.本节教学中应使学生体会弧度也是一种度量角的单位，通过分析弧长与半径的比值理解弧度的意义.（难点） 2.掌握弧度与角度之间的换算关系，能正确地进行弧度与角度之间的转换.（重点） 3.理解弧长与扇形面积公式，会用弧长与扇形面积公式求解有关问题. 探究点1：圆心角、弧长和半径之间的关系： 思考1：以前我们学习的角度制是怎样定义的？ 【提示】使用角度来度量角时，是把圆周等分成360份，其中每一份所对应的圆心角为1度这种用度来度量角的制度为角度制. 角度制还规定1度等于60分，1分等于60秒，即 , 使用角度来度量角，关键是“等分” 追问：面积、体积等都可以通过线的长度来刻画，那么，能否用“测量长度”来代替“等分”，从而引进另外一种度量角的制度呢？ 思考2：如图是一种折叠扇，折叠扇打开、合拢的过程可以抽象成扇形圆心角的变大、变小，那么在这个过程中，扇形的什么量在发生变化？什么量没发生变化？由此你能想到度量角的其他办法吗？ 【提示】角是由射线绕它的端点旋转而成的， 在旋转的过程中，射线上的任意一点（端点除外） 必然形成一条圆弧，不同的点所形成的圆弧的长度 是不同的，如弧、弧…,但都对应同一个圆心角. 容易发现，在这些同心圆中，同一圆心角α所对的弧与它所在圆的半径的比值是一个常数，即 =…=定值. 设α=nº,弧AB的长为l，半径OA=r， 则,因此，， 可以看出，等式右端不包含半径，表示弧长与半径的比值与半径无关，只与α的大小有关. 【结论】可以用圆的半径作单位去度量弧. 当为定值时，这个比值也是定值. 探究点2：弧度制的定义： 我们称弧长与半径比值的这个常数为圆心角的弧度数. 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1弧度的角，弧度记作rad. 这种以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制. 由弧度制的定义可知，在半径为的圆中，若弧长为的弧所对的圆心角为,则 弧长公式： r 1rad r 探究点3：角度制与弧度制的换算 思考：（1）按照定义，一个圆周对应的弧度数是多少？ （2）一般地，弧度制与角度制之间怎样进行换算？ r 1rad 【提示】因为半径为的圆周长为, 所以周角的弧度数是,因此 设一个角的角度数为，弧度数为，则 例1 把30,45,60化为弧度数（用表示），并在平面直角坐标系中作出它们的终边. 【解析】设30角的弧度数为，则 所以,即30. 对应终边为右图中射线OA. x O y A B C 类似地，可得，. 对应的终边分别为右图中射线OB,OC. 记住一些常见的角度与弧度制的换算： 度 0º 30º 45º 60º 90º 120º 135º 150º 180º 270º 360º 弧度 注: 1.以弧度为单位表示角的大小时，“弧度”二字或“rad”通常省略不写，但用“度”（°）为单位时不能省. 2.用弧度为单位表示角时，通常写成“多少π”的形式,如无特别要求，不用将π化成小数. 例2. 把化成度. 【解析】设,则. 因此，,即. 跟踪训练 例3. 利用弧度制推导扇形的面积公式. 其中是扇形的弧长，是扇形的半径. 【解析】设扇形的圆心角为，则扇形的面积为 又因为,所以. 即使训练： 如图，扇形AOB中，弧AB所对 的圆心角是60º，半径为50米，求弧长及扇 形AOB的面积S. 【解析】因为60，所以 =(米) (平方米) 本节课我们主要学习了： （1）弧度制的定义. （2）角度与弧度的换算公式，由 进行角度制与弧度制的相互转化. （3）一些特殊角的弧度数. （4）弧长与扇形面积公式. $$