专题04 点到直线的距离-【寒假自学课】2024年高二数学寒假提升学与练（沪教版2020）

学科网（北京）股份有限公司 专题04 点到直线的距离 目录 新知导航：熟悉课程内容、掌握知识脉络 基础知识：知识点全面梳理，掌握必备 学以致用：考点剖析，提升能力 小试牛刀：过关检测，成果评定 一．两点间的距离 1.两点间的距离公式 平面上任意两点间的距离公式为. 特别地，原点O（0，0）与任一点P（x，y）的距离． 2．两点间距离公式的推导 法一：已知平面上的任意两点，向量，则. 因此得到平面上的任意两点的距离公式为：. 法二：已知平面上的任意两点，如何求点间的距离? 如图，过点分别向y轴和x轴作垂线和，垂足分别为，，直线与相交于点Q． 在中，，过点向x轴作垂线，垂足为；过点向轴作垂线，垂足为，所以，同理可得． 所以． 由此得到平面上任意两点间的距离公式为． 二．对称问题 对称问题包括点关于点的对称、点关于直线的对称、直线关于点的对称． 1．点关于点对称 点关于点的对称是对称问题中最基本的问题，是解决其他对称问题的基础，一般用中点坐标公式解决这种对称问题． 设点关于点M（a，b）的对称点为P′（x，y），则有，所以，即点．特别地，点P关于坐标原点O的对称点为． 2．点关于直线对称 对于点关于直线的对称问题，若点P关于直线l的对称点为，则直线l为线段的中垂线，于是有等量关系： ①（直线l的斜率存在且不为零）； ②线段的中点在直线l上； ③直线l上任意一点M到P，的距离相等，即． 常见的点关于直线的对称点： 1 点关于x轴的对称点； 2 点关于y轴的对称点； 3 点关于直线y=x的对称点； 4 点关于直线y=−x的对称点； 5 点关于直线x=m（m≠0）的对称点； 6 点关于直线y=n（n≠0）的对称点． 三．点到直线的距离 1．点到直线的距离 点到直线的距离，是指从点到直线的垂线段的长度，其中为垂足．实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外一点所连线段的长度的最小值． 2．点到直线的距离公式 平面上任意一点到直线l：Ax+By+C=0（A，B不同时为0）的距离为． 3．点到直线的距离公式的推导 如图，设，则直线l与x轴和y轴都相交，过点分别作x轴和y轴的平行线，交直线l于R和S，则直线的方程为，R的坐标为；直线的方程为，S的坐标为， 于是有，， ． 设，由三角形面积公式可得， 于是得． 因此，点到直线l：Ax+By+C=0的距离． 可以验证，当A=0，或B=0时，上述公式也成立． 【点拨】用向量法推导点P到直线l的距离|PQ|公式的向量法推导，在直线上取任意一点M，与直线方向向量垂直的单位向量为n，则有 ，所以有. 四．点到直线的距离问题 （1）求点到直线的距离时，若给出的直线方程不是一般式，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可． （2）对于与坐标轴平行（或重合）的直线x=a或y=b，求点到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成或． （3）若已知点到直线的距离求参数或直线方程时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可． 一．两点间的距离（共3小题） 1.若过点A(3，a)和点B(4，b)的直线与y＝2x＋3平行，则|AB|的值为（ ） A．3 B． C．5 D． 2.设x，，，，且，则点到点的最短距离是（ ） A．2 B．3 C． D． 3.在平面直角坐标平面内有四点，，，，为该平面内的动点，则到、、、四点的距离之和的最小值为（ ） A． B． C． D． 二．对称问题（共3小题） 1.已知点，，直线，在直线l上找一点P使得最小，则这个最小值为（　　） A． B． C． D． 2.已知，，动点P在直线上，当取最小值时，点P的坐标为（ ） A． B． C． D． 3.如图，一束平行光线从原点出发，经过直线反射后通过点，求反射光线所在的直线的方程. 三．求点到直线的距离（共2小题） 1.（2023春·上海市松江区·阶段练习）斜率为的直线过点为直线的一个法向量，坐标平面上的点满足条件，则点到直线的距离为 . 2．（2023春上海市·徐汇·一模）已知正实数满足，则的最小值 . 四．综合应用（共3小题） 1.（2023春上海市·静安区·一模）若直线与直线平行，则这两条直线间的距离是 ． 2.（2023春·上海市·阶段练习）平行直线与之间的距离为 ． 3．（2023·上海市松江区·阶段练习）若对一个角，存在角满足，则称为的“伴随角”.有以下两个命题： ①若，则必存在两个“伴随角”； ②若，则必不存在“伴随角”； 则下列判断正确的是（    ） A．①正确②正确； B．①正确②错误； C．①