第05讲 平方差公式-【寒假自学课】2024年七年级数学寒假提升学与练（北师大版）

第05讲 平方差公式 思维导图 核心考点聚焦 1.判断是否可用平方差公式运算. 2.运用平方差公式进行运算. 3.利用平方差公式进行简便运算. 4.平方差公式与几何图形结合. 一、平方差公式 平方差公式:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差，即(a+b)(a-b)=a²-b²． 公式的几种变化： ①位置变化：（b+a)（-b+a）=(a+b)(a-b)=a²-b²， （-a-b）(a-b)=(-b-a)(-b+a)=(-b+a)(-b-a)=(-b)²-a²=b²-a²． ②系数变化：（2a+3b）(2a-3b)=(2a)²-(3b)²=4a²-9b²． ③指数变化：（a²+b²）(a²-b²)=（a²）²-（b²）²=． ④增项变化：（a-b-c）(a-b+c)=(a-b)²-c²． ⑤连用公式变化：（a+b）(a-b)(a²+b²)=（a²-b²）(a²+b²)=（a²）²-（b²）²=． ⑥公式逆运算：a²-b² =(a+b)(a-b) ． 1.熟记平方差公式的结构，两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 2.利用平方差公式简便运算及与几何图形的综合应用. 考点剖析 考点一、判断是否可用平方差公式运算 例题1．下列各式中不能用平方差公式计算的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A、，可以使用平方差公式； B、，可以使用平方差公式； C、，可以使用平方差公式； D、，两项都不相同，不能使用平方差公式． 故选D． 【变式训练】 1．下列能使用平方差公式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A、不能使用平方差公式，故本选项不符合题意； B、不能使用平方差公式，故本选项不符合题意； C、不能使用平方差公式，故本选项不符合题意； D、能使用平方差公式，故本选项符合题意； 故选D． 2．下列各式中，不能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】A、，能用平方差公式进行计算，不符合题意； B、，不能用平方差公式进行计算，符合题意； C、，能用平方差公式进行计算，不符合题意； D、，能用平方差公式进行计算，不符合题意； 故选B． 考点二、运用平方差公式进行运算 例题2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【解析】（1）； （2）； （3）； （4）． 【变式训练】 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【解析】（1）； （2）； （3）； （4）． 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【解析】（1）原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 考点三、利用平方差公式进行简便运算 例题3．用简便方法计算： (1)； (2)． 【解析】（1）原式． （2）原式． 【变式训练】 1．用简便方法计算：． 【解析】原式 ． 2．用简便方法计算：(1)；(2)． 【解析】（1） ； （2） ． 考点四、平方差公式与几何图形结合 例题4．如图，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示）． (1)上述操作能验证的等式是（    ）．（请选择正确的一个） ． ． ． (2)请应用（1）中的等式完成下列各题： ①已知，，则______； ②计算：． ③计算：． 【解析】（1）图①中的阴影部分面积为两个正方形的面积差，即， 图②中的阴影部分是长为，宽为的长方形，面积为， ，故答案为：． （2）①，， 又，， 即，故答案为：． ②， ， ， 原式． ③ ． 【变式训练】 1．图1、图2分别由两个长方形拼成． (1)图1中图形的面积为，图2中图形的面积为__________．（用含有a，b的代数式表示） (2)由（1）可以得到等式：__________． (3)根据你得到的等式解决下列问题： ①计算：． ②若，求的值． 【解析】（1）图2中图形的面积为； 故答案为：； （2）由（1）可得：； 故答案为：； （3）① ； ②因为， 所以 ． 过关检测 一、选择题 1．已知，则括号里应填（    ） A． B． C． D． 2．若，，则的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 3．下列能用平方差公式进行计算的式子，有（    ）个． ①    ②    ③    ④ A．1 B．2 C．3 D．4 4．若的值是，则的值是（    ） A． B． C． D．16 5．若，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．计算： ． 7．计算的值为 ．