第04讲 直角三角形-【寒假自学课】2024年八年级数学寒假提升学与练（北师大版）

第04讲 直角三角形 思维导图 核心考点聚焦 1.直角三角形的两个锐角互余 2.判断三边能否构成直角三角形 3.在网格中判断直角三角形 4.利用勾股定理的逆定理求解 5.勾股定理逆定理的实际应用 6.全等的性质和HL综合 1.直角三角形的性质定理 定理1 直角三角形的两个锐角互余； 定理2 在直角三角形中，如果一个角等于300，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 2.勾股定理 图形 名称 定理 符号表示 边的定理 在直角三角形中，斜边大于直角边. 在中， 勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方. 在中，， 勾股定理 逆定理 如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形. 在中，， 3.直角三角形全等的判定 图形 定理 符号 如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等（简记：HL） 在中，， 1.在直角三角形中，如果一个角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 2.勾股定理逆定理：如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形. 3.直角三角形全等的判定：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等（简记：HL） 考点剖析 考点一、直角三角形的两个锐角互余 例题：在直角三角形中，若一个锐角是，则该直角三角形的另一个锐角是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在一个直角三角形中，有一个锐角等于， 另一个锐角的度数是． 故选：C． 【变式训练】 1．如图，某同学在课桌上无意中将一块三角尺叠放在直尺上，则 ． 【答案】/度 【解析】由图可知， 和的对顶角互余， ， 故答案为：． 2．如图，等腰三角形中，，，于D，则等于 ． 【答案】/23度 【解析】∵在等腰三角形中，，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 考点二、判断三边能否构成直角三角形 例题：下列各组数据中，能作为直角三角形的三边长的是（   ） A．1，2，3 B．1，1，2 C．1，，1 D．3，4，6 【答案】C 【解析】，不能作为直角三角形的三边长，故选项A错误； ，不能作为直角三角形的三边长，故选项B错误； ，能作为直角三角形的三边长，故选项C正确； ，不能作为直角三角形的三边长，故选项D错误． 故选C． 【变式训练】 1．以下列各组线段为边，能构成直角三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【解析】根据题意得： 选项中，，不能构成三角形，也不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； 选项中，，能构成直角三角形，故本选项符合题意； 选项中，，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； 选项中，，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意． 故选：． 2．已知a，b，c满足． (1)求a，b，c的值； (2)试问：以a，b，c为三边长能否构成直角三角形，如果能，请求出这个三角形的面积，如不能构成三角形，请说明理由． 【解析】（1）根据题意得：，，， 解得：，，． （2）能构成直角三角形， ，，， 以、、为边长的三角形是直角三角形,三角形的面积是：． 考点三、在网格中判断直角三角形 例题：如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是，求下列问题：    (1)试说明是直角三角形； (2)求点到的距离． 【解析】（1）由图可知：，，． ,是直角三角形    （2）由（1）可知：，， 点到的距离是． 【变式训练】 1．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫格点，网格中有以格点A，B，C为顶点的，请根据所学的知识回答下列问题： (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的面积． 【解析】（1）是直角三角形， 理由：，，， 所以， 所以是直角三角形； （2）的面积：． 考点四、利用勾股定理的逆定理求解 例题：如图，点在中，，，，    (1)求的长； (2)求图中阴影部分的面积． 【解析】（1）∵，，， ， （2）∵，， ， 是直角三角形，， ． 故图中阴影部分的面积为． 【变式训练】 1．在四边形中，，求四边形的面积． 【解析】连接， ∵∠B=90°， ∴为直角三角形， ∵， 根据勾股定理得：， 又∵， ∴， ∴， ∴为直角三角形， ∴， 答：四边形的面积为36． 2．如图，学校有一块三角形空地，计划将这块三角形空地分割成四边形和，分别摆放“秋海棠”和“天竺葵”两种不同的花卉，经测量，，，，，，，求四边形的面积． 【解析】由题意得：， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， 是直角三角形，且， ． 答：四边形的面积为18． 考点五、勾股定理逆定理的实际应用 例题：如图，在笔直的公路旁