第04讲 导数在研究函数中的应用-【寒假预科讲义】2024年高二数学寒假精品课（人教A版2019）

第04讲 导数在研究函数中的应用 【人教A版2019】 ·模块一 导数中的函数零点（方程根）问题 ·模块二 导数中的不等式证明 ·模块三 导数中的恒成立、能成立问题 ·模块四 课后作业 模块一 导数中的函数零点（方程根）问题 1．导数中的函数零点（方程根）问题 利用导数研究含参函数的零点（方程的根）主要有两种方法： (1)利用导数研究函数f(x)的最值，转化为f(x)图象与x轴的交点问题，主要是应用分类讨论思想解决. (2)分离参变量，即由f(x)=0分离参变量，得a=g(x)，研究y=a与y= g (x)图象的交点问题. 【考点1 利用导数研究函数的零点（方程的根）】 【例1.1】（2023上·天津滨海新·高三校考阶段练习）已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例1.2】（2023·陕西商洛·陕西省丹凤中学校考模拟预测）已知函数，若关于的方程有3个不同的实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（2023上·北京·高三校考阶段练习）已知，其中是常数，则（    ） A．存在实数，使得对任意实数，函数都有零点 B．存在实数，使得对任意实数，函数至少有2个零点 C．对于任意实数，存在实数，使得函数恰有2个零点 D．对于任意实数，存在实数，使得函数恰有3个零点 【变式1.2】（2020·湖北黄冈·黄冈中学校考模拟预测）已知函数，（其中是自然对数的底数），若关于的方程恰有三个不等实根，，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 模块二 导数中的不等式证明 1．导数中的不等式证明 (1)一般地，要证f(x)>g(x)在区间(a，b)上成立，需构造辅助函数F(x)＝f(x)－g(x)，通过分析F(x)在端点处的函数值来证明不等式．若F(a)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递增即可；若F(b)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递减即可. (2)在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问题，可考虑转化为两个函数的最值问题． 【考点1  利用导数证明不等式】 【例1.1】（2023上·湖南衡阳·高二校考期末）已知函数，. (1)若的极大值为1，求实数a的值； (2)若，求证：. 【例1.2】（2023上·云南昆明·高三校考阶段练习）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，若且，求证：． 【变式1.1】（2023上·辽宁·高三校联考阶段练习）已知函数. (1)当时，求的极值； (2)若，求的值； (3)求证：. 【变式1.2】（2023上·山西吕梁·高三统考阶段练习）已知函数 (1)求函数的单调区间； (2)若方程有两个不等的实数根，，且，证明：． 模块三 导数中的恒成立、能成立问题 1．导数中的恒（能）成立问题 解决不等式恒（能）成立问题有两种思路： (1)分离参数法解决恒（能）成立问题，根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，即可解决问题． (2)分类讨论法解决恒（能）成立问题，将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数进行分类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，据此进行求解即可. 【考点1  利用导数研究不等式恒成立问题】 【例1.1】（2023上·山西吕梁·高三校联考阶段练习）若关于x的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例1.2】（2023上·江苏常州·高三校联考阶段练习）设函数，若函数存在两个极值点，且不等式恒成立，则t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（2023上·河北保定·高三校联考期末）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)已知，若恒成立，求的值． 【变式1.2】（2023上·福建莆田·高三校考阶段练习）已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)若对，恒成立，求实数的取值范围. 【考点2 利用导数研究能成立问题】 【例2.1】（2023下·贵州铜仁·高二统考期末）已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2.2】（2023下·湖北·高二校联考期中）若存在，使不等式成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（2023上·湖南长沙·高三统考阶段练习）已知函数，是的导函数. (1)若，求的单调区间； (2)若存在实数使成立，求的取值范围. 【变式2.2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数（，）． (1)当（是自然对数的底数）时，求函数的单调区间； (2)若，使得，求实数的取值范围． 【考点3 利用导数研究函数图象及性质】 【例