第03讲 函数的单调性、极值和最值-【寒假预科讲义】2024年高二数学寒假精品课（人教A版2019）

第03讲 函数的单调性、极值和最值 【人教A版2019】 ·模块一 函数的单调性 ·模块二 函数的极值与最大（小）值 ·模块三 课后作业 模块一 函数的单调性 1．函数单调性和导数的关系 (1)函数的单调性与导函数f'(x)的正负之间的关系 ①单调递增：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)>0，那么函数y=f(x)在区间(a, b) 上单调递增； ②单调递减：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减. ③如果在某个区间(a,b)内恒有f'(x)=0，那么函数y=f(x)在这个区间上是一个常数函数. (2)函数值变化快慢与导数的关系 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么在这个范围内函数值变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较小，那么在这个范围内函数值变化得慢，函数的图象就“平缓”一些. 常见的对应情况如下表所示. 图象 f'(x)变化规律 f'(x)>0 且越来越大 f'(x)>0 且越来越小 f'(x)<0 且越来越小 f'(x)<0 且越来越大 函数值变化规律 函数值增加 得越来越快 函数值增加 得越来越慢 函数值减小 得越来越快 函数值减小 得越来越慢 【考点1 利用导数判断函数的单调性、求函数的单调区间】 【例1.1】（2023·吉林长春·长春校考模拟预测）下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【例1.2】（2023下·河南·高二校联考阶段练习）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（2023·上海静安·统考二模）函数（　　） A．严格增函数 B．在上是严格增函数，在上是严格减函数 C．严格减函数 D．在上是严格减函数，在上是严格增函数 【变式1.2】（2023·高三课时练习）函数（a、b为正数）的严格减区间是（    ）． A． B．与 C．与 D． 【考点2 由函数的单调性（单调区间）求参数】 【例2.1】（2023·全国·统考高考真题）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（    ）． A． B．e C． D． 【例2.2】（2022下·天津和平·高二天津一中校考期中）已知函数的单调递减区间是，则（    ） A．3 B． C．2 D． 【变式2.1】（2023下·河南濮阳·高二统考期末）若函数在其定义域的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（2023下·江西萍乡·高二统考期末）已知函数在区间上存在单调递增区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 模块二 函数的极值与最大（小）值 1．函数的极值 极值的相关概念 (1)极小值点与极小值： 如图，函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小，f'(a)=0，而且在点 x=a附近的左侧f'(x)<0，右侧f'(x)>0，则把点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值. (2)极大值点与极大值： 如图，函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大，f'(b)=0，而且在点 x=b附近的左侧f'(x)>0，右侧f'(x)<0，则把点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值. (3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值. 2．函数的最大值与最小值 (1)一般地，如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值， 并且函数的最值必在极值点或区间端点处取得.当f(x)的图象连续不断且在[a,b]上单调时，其最大值和最小值分别在两个端点处取得. (2)函数的极值与最值的区别 ①极值是对某一点附近(即局部) 而言的，最值是对函数的整个定义区间而言的. ②在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个(或者没有)，但最大(小)值最多有一个. ③函数f(x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点. 【考点1  利用导数求函数的极值】 【例1.1】（2023上·湖南·高三校联考阶段练习）已知函数（为自然对数的底数），则函数的极小值为（    ） A． B． C． D．1 【例1.2】（2023下·福建福州·高二校考期中）函数满足：，，则当时，（    ） A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值 C．既有极大值，又有极小值 D．既无极大值，也无极小值 【变式1.1】（2023上·山西临汾·高三校