专题02 等边三角形【知识串讲+9大考点】-2023-2024学年八年级数学下册重难考点强化训练（北师大版）

专题02 等边三角形 考点类型 知识一遍过 （一）等边三角形 （1）等边三角形性质 ①等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60º ②在直角三角形中，如果一个锐角等于30º，那么它所对的直角边等于斜边的一半 （2）等边三角形判定 ①三个角都相等的三角形是等边三角形。 ②有一个角是60º的等腰三角形是等边三角形。 （二）解题方法 （1）三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离等。 （2）三角形三个边的中垂线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。 （3）常用辅助线：①三线合一；②过中点做平行线[来源: （4）含30°角的直角三角形性质 （三）等腰三角形与等边三角形的区别 考点一遍过 考点1：等边三角形的性质——求角 典例1：（2023上·河南新乡·八年级新乡市第一中学校考期中）如图，和均为等边三角形，点、、在同一条直线上，连接，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（2023上·广东广州·八年级校联考阶段练习）如图，等边中，为边上的高，点、分别在、上，且，连、，当最小时，的度数为（　　）    A． B． C． D． 【变式2】（2022上·福建福州·八年级校考期中）如图所示，是等边三角形，，且，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【变式3】（2023下·安徽·九年级专题练习）如图，直线，是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交于点E，交于点F，若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 考点2：等边三角形的性质——求线段 典例2：（2023上·广西南宁·九年级南宁三中校考期中）如图，过边长为4的等边的边上一点P，作于E，Q为延长线上一点，当时，连交边于D，则的长为（    ） A． B．2 C． D． 【变式1】（2023上·福建福州·八年级福建省福州第十九中学校考期中）如图，是等边三角形，点D是的中点，，，则AC等于（    ） A．6 B．8 C．9 D．12 【变式2】（2023上·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图：是等边三角形，，，相交于点P，于Q，，，则的长是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式3】（2022下·陕西榆林·八年级统考期末）如图，是等边三角形，点在的延长线上，点是的中点，连接并延长交于点，且，若，则的长为（    ）    A． B． C． D． 考点3：等边三角形的性质——手拉手全等 典例3：（2023上·湖北武汉·八年级校联考期中）如图，和均为等边三角形，直线交于点，点、分别为、的中点，下列结论：①；②；③；④为等边三角形；⑤平分，其中一定成立的有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】（2023上·辽宁抚顺·八年级统考期中）如图，和均是等边三角形，与交于点，与交于点，与交于点，连接．以下五个结论：①；②；③；④；⑤平分．其中结论正确的有（　　）个．    A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（2023上·黑龙江鸡西·八年级统考阶段练习）如图，为线段上一动点（不与、重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连接，以下五个结论：①；②；③；④；⑤，恒成立的结论有（　　） A．①③⑤ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④⑤ 【变式3】（2023上·广东江门·八年级校考阶段练习）如图，已知点B是边上的动点（不与A，C重合），在的同侧作等边△ABD和等边，连接，下列结论正确的个数有（　　） ①； ②； ③； ④是等边三角形； ⑤平分； ⑥．      A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 考点4：等边三角形的性质——证明 典例4：（2023上·山东临沂·八年级校考阶段练习）如图，和都是等边三角形，和相交于点O． (1)求证： (2)求的度数． 【变式1】（2023上·山东菏泽·八年级统考期中）已知：如图，点E是正方形ABCD内一点，是等边三角形，求的度数．    【变式2】（2023上·广西河池·八年级统考期中）如图，边长为的等边中，点、分别是边、上的动点（端点除外），点P从顶点A，点从顶点同时出发，且它们的速度都为，，交于点，在点、的运动过程中． (1)求证：； (2)的大小是否发生变化？若无变化，求的度数；若有变化；说明理由． 【变式3】（2023上·湖南长沙·八年级校联考期中）如图，等边三角形中，为边的中点，为的延长线上一点，过点作于点，并交于点，    (1)求证：； (2)若，，求的长． 考点5：含30°角直角三角形性质 典例5：（2023上·浙江金华·八年级校联考期中）如图，，点P在上，且，M是上的点，在上找点N，以为直角边，P，M，N为顶点作等腰直角三角形，则的长不可能是（  ）    A． B．3 C． D．